天津市2017届南开中学高三第五次月考 数学理

天津市南开中学2017届高三第五次月考 数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值是（ ） A．-2 B．2 C．-6 D．6 3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.在的二项展开式中，项的系数为（ ） A．540 B．-540 C.20 D．-20 5.已知是两条互相垂直的直线，是平面，则是的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C.充要 D．既不充分也不必要 6. 已知双曲线，为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C. D． 7.设实数分别满足，则的大小关系为（ ） A． B． C. D． 8.若函数与的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 9.设为序数单位，则 ． 10.已知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点横坐标为6，则 ． 11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为 ． 12.设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则 ． 13.函数在点(1，2)处的切线与函数围成的图形的面积等于 ． 14.已知是外接圆的圆心，若，则 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数的图象过点 （1）求的值； （Ⅱ）在中，角的对边分别是若求的取值范围. 16、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率； （Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列； （Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级. 17. 如图，直三棱柱中，是棱上的点， （Ⅰ）求证：为中点； （Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值大小； （Ⅲ）在边界及内部是否存在点使得面存在，说明位置，不存在，说明理由 18. 椭圆的左、右焦点分别为，点满足. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，若直线与圆相交于、两点，且，求椭圆的方程. 19. 记，对数列和的子集若，定义，若定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）对任意正整数若求证：； （Ⅲ）对任意正整数若，记数列的前项和为，求证： 20. 已知函数. （Ⅰ）若在上的最大值为求实数的值； （Ⅱ）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由. 试卷答案 一、选择题 1-5: BDBBD 6-8: ACC 二、填空题 9. 10. 4 11. 12. 3 13. 14. 三、解答题 15.（Ⅰ）由 因为点在函数的图象上，所以. （Ⅱ）因为 所以 所以即 又因为所以所以 又因为所以所以； ，， 所以的取值范围是 16.（Ⅰ）设这天空气质量为1级， ，的可能值为0，1，2，3，其分布列为： 0 1 2 3 （Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量 ... ...