课堂探究 探究一 二次函数的定义 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝c＝0时，函数变为y＝ax2(a≠0)，它的图象是一条以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线；另外二次函数有以下几种形式： (1)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为其图象的顶点坐标． (2)交点式(也称两根式)：f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是其图象与x轴交点的横坐标． (3)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 【典型例题1】 当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？ 思路分析：根据二次函数的定义，只要保证二次项系数2－m≠0且x的指数m2＋m－4＝2即可． 解：由二次函数的定义知 即解得所以m＝－3. 所以当m＝－3时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x为二次函数． 点评在求解本题时，一定要严格把握二次函数的定义，也就是说函数y＝ax2＋bx＋c只有在a≠0的条件下才是二次函数，同时注意二次函数的每一项都是整式形式． 探究二 二次函数的图象和性质 1．根据配方法及函数的性质画函数图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，使图象更精确． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，二次函数图象在x轴上方部分对应的x取值范围即为不等式ax2＋bx＋c＞0的解；同样二次函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围，即为不等式ax2＋bx＋c＜0的解．【典型例题2】 已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3. (1)用配方法求出函数的对称轴、顶点坐标，并作出图象，指出其单调区间； (2)由图象写出y≥0时x的取值范围． 思路分析：本题考查配方法和二次函数的图象与性质．解题的关键是配方，完成配方后再结合图象研究其性质． 解：(1)f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3＝－(x－1)2＋4，则该函数的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，其图象如图所示． 其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)． (2)由图象知当y＝0时，x＝－1或x＝3；当y＞0时，－1＜x＜3，故当y≥0时x的取值范围是[－1,3]． 探究三 二次函数单调性与对称性的应用 1．利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法： 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于先找出函数图象的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系． 2．函数的对称性： (1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a＋x)＝f(a－x)对任意x都成立，这个关系式我们也常常表示为：f(x)＝f(2a－x)，也说明函数图象关于直线x＝a对称． (2)若函数f(x)对任意x有f(a－x)＝f(b＋x)，则函数f(x)图象的对称轴为x＝. 【典型例题3】 (1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋1在区间[－1,2]上是单调的，则实数m的取值范围是_____； (2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋1对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，求f(1)，f(2)的值． (1)解析：函数f(x)＝x2＋2mx＋1＝(x＋m)2＋1－m2，其图象的对称轴为x＝－m，若函数在[－1,2]上单调，说明对称轴不在区间[－1,2]内部，故有－m≤－1或－m≥2，得m≥1或m≤－2.答案：m≥1或m≤－2 (2)解：由题意知，函数图象关于x＝2对称，故－＝2，得b＝－4，所以f(x)＝x2－4x＋1，f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3. 探究四二次函数的最值(值域) 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的最值问题，首先应采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式． (1)求二次函数在定义域R上的最值； (2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型： ①顶点固定，区间也固定． 此种类型是较为简单的一种，只要找到对称轴，画出图象，将区间标出，最值一目了然． ②顶点变动，区间固定．这种类型是比较重要的，在高考题中多次出现，主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况 ... ...
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