课堂探究 探究一 幂函数的概念 1．幂函数的判断方法 (1)幂函数同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数． (2)如果函数以根式的形式给出，则要注意对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断． 2．待定系数法求幂函数解析式的方法 若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x)＝xα，根据条件求出α. 【典型例题1】 (1)已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x－2 C．f(x)＝ D．f(x)＝ (2)下列函数中是幂函数的为_____． ①y＝；②y＝2x2；③y＝； ④y＝x2＋x；⑤y＝－x3. 解析：(1)设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝， ∴α＝－2.∴y＝x－2. (2)①③的底数是变量，指数是常数，且系数为1，因此①③是幂函数；②中x2的系数为2，因此不是幂函数；④是由幂函数复合而成的函数，因此不是幂函数；⑤不符合幂函数中xα前的系数为1，因此不是幂函数． 答案：(1)B (2)①③ 探究二 比较大小 比较幂形式的两个数大小的常用方法：1．若能化为同指数，则用幂函数的单调性． 2．若能化为同底数，则用指数函数的单调性． 3．若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小．【典型例题2】 比较下列各组数的大小： (1)，.. (2)(－1.2)3，(－1.25)3. (3)5.25－1,5.26－1,5.26－2. (4)0.53,30.5，log30.5. 思路分析：(1)借助函数y＝；(2)借助函数y＝x3；(3)借助函数y＝5.26x和y＝x－1；(4)利用中间值法． 解：(1)∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7， ∴<. (2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3. (3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1. ∵y＝5.26x在R上是增函数，－1>－2. ∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. (4)∵0<0.53<1,30.5>1，log30.5<0， ∴log30.5<0.53<30.5. 探究三 幂函数的图象 画图象时，一般先画第一象限内的图象，再结合函数性质补全图象，幂函数的图象与幂指数间有如下规律： 1．指数大于1，在第一象限的图象，类似于y＝x2的图象；2．指数等于1，在第一象限为上升的射线； 3．指数大于0小于1，在第一象限的图象，类似于y＝的图象； 4．指数等于0，在第一象限为水平的射线； 5．指数小于0，在第一象限类似于y＝x－1的图象． 【典型例题3】 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( ) A．n<0，m>1 B．n<0n>1 D．n>m>1解析：由幂函数的图象及性质可知，在第一象限内，若幂指数大于零，则函数为增函数；若幂指数小于零，则函数为减函数，故m>0，n<0.又由y＝xm的图象与直线y＝x比较，得0
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