课堂探究 探究一 指数函数模型 指数函数y＝ax(a>1)经复合可以得到指数型函数，指数型函数的函数值变化较快，例如，生活中接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型函数．指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同． 【典型例题1】 某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元) 思路分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答． 解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是 100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约3.86万元． 探究二 对数函数模型 对数函数y＝logax(x>0，a>1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢． 直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算． 【典型例题2】 20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差)． (1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪测得的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)； (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)． 解：(1)依题意知M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104＝4＋lg 2≈4.3. 因此这是一次里氏约4.3级的地震． (2)由M＝lg A－lg A0，可知M＝lg，所以＝10M. 所以A＝A0·10M. 当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6； 当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105. 所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398， 所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍．探究三 幂函数模型 幂函数y＝xα(α>0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快． 【典型例题3】 2014年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？ 以下数据供计算时使用： 真数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 对数lg N 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 解：设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30， 即30(1＋x)40＝60. ∴(1＋x)40＝2，两边取对数， 则40lg(1＋x)＝lg 2，则lg(1＋x)＝≈0.007 526， ∴1＋x≈1.017，得x＝1.7%. 探究四 建立拟合函数模型 对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据数据找出比较合理的函数模型．根据数据特点，可能有多种结果，因此用哪一个还需结合实情选择，总之建立拟合函数模型是一个不断优化的过程． 【典型例题4】 某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y(万件)与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或者函数y＝abx＋c(a≠0)，如果已知4月份的产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好？理由是什么？ 思路分析：本题已给定两种供选择的函数模型，处理的关键就是根据已知数 ... ...
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