课堂导学 三点剖析 一、指数函数的定义域、值域的求法 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y=2; (2)y=()-|x|; (3)y=4x+2x+1+1. 解析：(1)∵x-4≠0,∴x≠4. ∴定义域是{x∈R|x≠4}. ∵≠0,∴2≠1. ∴函数的值域是{y|y>0且y≠1}. (2)定义域为R. ∵|x|≥0,∴y=()|x|=()|x|≥()0=1. ∴y=()|x|的值域是{y|y≥1}. (3)定义域是R. ∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1. ∴y=4x+2x+1+1的值域是{y|y>1}. 温馨提示 (1)由于指数函数y=ax(a>0且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同. (2)求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性. 二、比较两个数的大小问题 【例2】比较下列各题中两个值的大小. (1)()0.8与()1.8; (2)()与(); (3)1.70.3与0.93.1. 思路分析：同底数的幂比较大小,要用指数函数的单调性;对于底数和指数都不同的两个幂比较大小,要找到一个中间量搭桥,判断它们的大小 解:(1)因为()0.8=()1.6,且函数y=()x在R上是减函数,所以()1.6>()1.8,即()0.8>()1.8. (2)因为()=(),且函数y=()x在R上是减函数,所以()<(),即()<(). (3)由指数函数的性质,得1.70.3>1.70=1 又0.93.1<0.90=1, 所以1.70.3>0.93.1. 温馨提示 两个幂值比较大小,要灵活运用指数函数的单调性.同底数而指数不同的,直接用单调性比较大小;对于底数和指数都不同的幂值比较大小,需找准“中间量”通过它的联系,而确定这两个值的大小.这个“中间量”常选取0、±1等. 三、复合函数的单调性 【例3】求函数y=()的单调区间. 思路分析：函数y=()可认为由y=()u,u=x2-6x+17“复合”而成,求单调区间要综合考虑u=x2-6x+17与y=()u的性质. 解:函数u=x2-6x+17在［3,+∞)上是增函数,即对任意的x1、x2∈［3,+∞)且x1
(),即y1>y2. ∴y=()在［3,+∞)上是减函数. 同理,y=()在(-∞,3］上是增函数. 温馨提示 当a>1时,函数y=af(x)与函数f(x)的单调性相同;当00且y≠2. ∴值域为{y｜y>0且y≠2}. 变式提升1 已知指数函数f(x)=ax在［-1,1］上的最大值与最小值之差为1,求a的值.解析：当a>1时,f(x)max=a,f(x)min=a-1, 由a=1,知a2-a-1=0,∴a=. 当01.5>1.44,∴21.8>21.5>21.44. ∴y1>y3>y2. 变式提升2 将下列各数从小到大排列起来: (),(),3,(),(),()0,(-2)3,(). 解析：∵()0=1,∴可先将其余的数分成三类: (1)负数:(-2)3;(2)大于0小于1的数:(),(),()=();(3)大于1的数:()=(),3,(). 在(2)中,()÷()=(×)>1, ∴()>(). ∵0<<1,<,∴()>(). 故在(2)类中,有()<()<(). 在(3)中,()=()<()<3. 由此可得(-2)3<()<()<()-<()0<()<()<3. 类题演练3 求函数f(x)=()的单调区间. 解析：由x2-2x-3≥0,得x≥3或x≤-1. 又知g(x)=x2-2x-3在［3,+∞)上是增函数, 在(-∞,-1］上是减函数. 又∵<1,∴f(x)的递增区间为(-∞,-1］,递减区间为［3,+∞). 变式提升3 方程2ax2-x-1=0(a≠0)在［-1,1］上有且仅有一个实根,求函数y=a(a>0且a≠1)的单调区间. 解析：设f(x)=2ax2-x-1. 在［-1,1］上方程有且仅有一个实根, f(-1)f(1)≤0,即2a·(2a-2)≤0, ∴0≤a≤1.∵a>0,a≠1,∴0
