学业分层测评(六) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 因为·n－1＝，所以n－1＝＝3， 所以n＝4. 【答案】 B 2．已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则＝( ) A．1 B. C. D. 【解析】 由题意知b＝2a，c＝4a，d＝8a， 所以＝＝. 【答案】 C 3．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是( ) A．1 B. C. D. 【解析】 ∵a1＝，a2＝，则q＝， ∴a4＝a1·q3＝·＝1. 【答案】 A 4．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( ) A．64 B．81 C．128 D．243 【解析】 ∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6， ∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6， ∴q＝2， ∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1， ∴a7＝a1q6＝26＝64. 【答案】 A 5．若等比数列{an}满足an·an＋1＝16n，则公比为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】 令n＝1，得a1a2＝16①，令n＝2，得a2a3＝162②， 得＝16，所以q2＝16，所以q＝±4，又由①知q＞0， ∴q＝4. 【答案】 B 二、填空题 6．三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为_____． 【解析】 由题意知b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列 所以2(b＋8)＝a＋c，即2(3a＋8)＝a＋9a， 解得a＝4，∴b＝12，c＝36. 【答案】 4,12,36 7．已知数列{an}为等比数列，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝_____. 【解】 由已知得由得＝， ∴q＝或q＝2.当q＝时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4. 【答案】 4或－48．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则＝_____. 【解析】 设{an}公比为q，∵a2，a3，a1成等差数列， ∴a3＝a1＋a2， ∴a1q2＝a1＋a1q， ∵a1≠0， ∴q2－q－1＝0，解得q＝. ∵数列各项都是正数，∴q＞0，∴q＝， ∴＝q＝. 【答案】 三、解答题9．已知等比数列{an}中，a1＝，a7＝27，求an. 【解】 由a7＝a1q6，得27＝·q6， ∴q6＝272＝36，∴q＝±3. 当q＝3时，an＝a1qn－1＝×3n－1＝3n－4； 当q＝－3时，an＝a1qn－1＝×(－3)n－1 ＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4. 故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an＋1)(n∈N＋)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列. 【解】 (1)由S1＝(a1＋1)，得a1＝(a1＋1)， ∴a1＝. 又S2＝(a2＋1)，即a1＋a2＝(a2＋1)， 解得a2＝－. (2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(an＋1)－(an－1＋1)， 解得an＝－an－1， 即＝－，当n＝1时，a1＝，a2＝－，∴＝－，故{an}是以为首项，公比为－的等比数列． [能力提升] 1．各项都是正数的等比数列{an}，若a2，a3,2a1成等差数列，则的值为( ) A．2 B．2或－1 C. D.或－1 【解析】 设等比数列{an}的公比为q，则q＞0. ∵a2，a3,2a1成等差数列， ∴2×a3＝a2＋2a1， 则a1q2＝a1q＋2a1. 即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)， ∴＝＝＝. 【答案】 C 2．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 【解析】 设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取对数，得n>≈＝，∴n≥4， ∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 【答案】 B3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N＋)， ... ...
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