2017-2018学年高中数学（北师大版必修5）学业分层测评：第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质

学业分层测评(七) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．在正项等比数列{an}中，a3·a5＝4，则a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7＝(　　) A．64　　　 B．128 C．256 D．512 【解析】　a3·a5＝a1·a7＝a2·a6＝a＝4，∵an＞0，∴a4＝2， ∴a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7＝(a)3·a4＝a＝27＝128. 【答案】　B 2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8＝(　　) A．2 B．4C．8 D．16 【解析】　∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0， ∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6·b8＝b＝16. 【答案】　D 3．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】　不妨设a>b，由题意得∴a>0，b>0， 则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列， ∴∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9. 【答案】　D 4．已知等比数列{an}的公比q≠1，则下面说法中不正确的是(　　) A．{an＋2＋an}是等比数列 B．对于k∈N ，k＞1，ak－1＋ak＋1≠2ak C．对于n∈N ，都有anan＋2＞0 D．若a2＞a1，则对于任意n∈N ，都有an＋1＞an 【解析】　对于A，{an＋2＋an}是公比为q的等比数列，正确； 对于B，对于k∈N ，k＞1，ak－1＋ak＋1＝＋akq， ∵q≠1，∴ak－1＋ak＋1≠2ak，正确； 对于C，anan＋2＝aq2＞0，正确； 对于D，若a2＞a1，q＞1，则对于任意n∈N ，都有an＋1＞an，故不正确．故选D. 【答案】　D 5．在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　) A．3 B. C．3或 D．－3或－ 【解析】　∵a5a11＝a3a13＝3，又a3＋a13＝4， ∴或，又＝q10＝，∴的值为3或. 【答案】　C 二、填空题 6．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝_____. 【解析】　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c ＝(5＋2)(5－2)＝1. 又b>0，∴b＝1. 【答案】　1 7．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N＋，则S10的值为_____． 【解析】　由a＝a3a9，d＝－2， 可得[a1＋6×(－2)]2＝[a1＋2×(－2)]·[a1＋8×(－2)]， 即(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)， 解得a1＝20， 所以S10＝10×20＋×(－2)＝110. 【答案】　1108．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝_____. 【解析】　∵{an}是公差不为零的等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项， ∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)(a1＋14d)，整理可得d＝－a1. 设数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝， ∴bn＝b1qn－1＝3×n－1. 【答案】　3×n－1 三、解答题 9．设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式an. 【解】　由b1＋b2＋b3＝3， 得log2(a1·a2·a3)＝3， ∴a1·a2·a3＝23＝8， ∵a＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3， 设等比数列{an}的公比为q，得 log2·log2(2q)＝－3， 解得q＝4或， ∴所求等比数列{an}的通项公式为 an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n. 10．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}唯一，求a的值． 【解】　(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2. 由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)， 即q2－4q＋2＝0， 解得q1＝2＋，q2＝2－， 故{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1. (2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)·(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0， 由a＞0得，Δ＝ ... ...