章末综合测评(一) 立体几何初步 (时间120分钟，满分160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．给出下列命题： (1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； (4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 其中真命题的序号为_____． 【解析】 (1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确． (2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确． (3)错，反例：该直线可以在另一个平面内． (4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行． 综上：(1)(2)为真命题． 【答案】 (1)(2) 2．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_____时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)． 【解析】 若有AC⊥BD，则A1C1⊥B1D1. 又∵CC1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C1， ∴B1D1⊥平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C，故条件可填AC⊥BD. 【答案】 AC⊥BD(答案不唯一) 3．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为_____． 【解析】 设四面体的高为h， 则h＝＝， Sh＝S(d1＋d2＋d3＋d4)， ∴d1＋d2＋d3＋d4＝h＝. 【答案】 4．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为_____． 【解析】 设圆锥的体积为x，则＝3，解得x＝54. 【答案】 54 5．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_____. 【解析】 V四棱锥O－ABCD＝××h＝，得h＝， ∴OA2＝h2＋2＝＋＝6. ∴S球＝4πOA2＝24π. 【答案】 24π 6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的_____条件． 【解析】 ∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α?l⊥m. 但l⊥mD?/l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内． 故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件． 【答案】 必要不充分 7．如图1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于_____． 图1 【解析】 ∵B1C1⊥平面A1ABB1， MN?平面A1ABB1， ∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角． ∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1. ∴MN⊥平面MB1C1.又MC1?平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°. 【答案】 90° 8．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是_____． ①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β. 【解析】 对于①，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误； 对于②，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确； 对于③，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误； 对于④，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l?β，故错误．故选②. 【答案】 ② 9．如图2，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为_____cm. 图2 【解析】 由题知，EH＝BD＝3 cm，FG＝BD＝4 cm. 设平行线EH，FG之间距离为d，则×(3＋4)×d＝28， 解得d＝8 cm. 【答案】 8 10．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面A ... ...
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