2017-2018学年高二数学（人教B版）选修2-2学业分层测评：第1章 导数及其应用 1.1.1、1.1.2

学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标] 一、选择题 1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　) A．3　 B．2 C．1 D．4【解析】　由已知得：＝3， ∴m＋1＝3，∴m＝2. 【答案】　B 2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3 B．3 C．6 D．－6 【解析】　由平均速度和瞬时速度的关系可知， v＝s′(1)＝ (－3Δt－6)＝－6. 【答案】　D 3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 【解析】　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2， 所以＝＝4＋2Δx. 【答案】　C 4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 【解析】　∵f′(x0)＝ ＝ ＝ (a＋bΔx)＝a， ∴f′(x0)＝a. 【答案】　C 5．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于(　　) A．1 B．－1 C．－ D. 【解析】　∵ ＝[·(－3)] ＝－3f′(x0)＝1， ∴f′(x0)＝－. 【答案】　C 二、填空题 6．若f′(x0)＝1，则 ＝_____. 【解析】　 ＝－ ＝－f′(x0)＝－. 【答案】　－ 7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1 1 1所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是_____． 图1 1 1 【解析】　∵1＝＝kMA， 2＝＝kAB， 3＝＝kBC， 由图象可知：kMA2>1. 【答案】　3>2>1 8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是_____． 【解析】　物体的速度为v＝s′(t)， ∴s′(t)＝ ＝ ＝ ＝2－6t. 即v＝2－6t， 所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2. 【答案】　2 三、解答题 9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s附近的平均速度． 【解】　＝＝ ＝ ＝(25＋3Δt)m/s， 即该物体在4 s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s. 10．求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数． 【解】　因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，故＝＝(2x＋a)＋Δx， ＝ (2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a. [能力提升] 1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．3 【解析】　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2， ∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x， 由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1. 【答案】　C 2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么 ＝(　　) A. B．1 C．2 D. 【解析】　因为f′(1)＝1，所以 ＝1， 所以 ＝ ＝. 【答案】　A 3．已知f′(x0)>0，若a＝ ，b＝ ，c＝ ， d＝ ，e＝ ， 则a，b，c，d，e的大小关系为_____． 【解析】　a＝ ＝f′(x0)， b＝ ＝－ ＝－f′(x0)， c＝ ＝2 ＝2f′(x0)， d＝ ＝f′(x0)， e＝ ＝f′(x0)． 即c>a＝d＝e>b. 【答案】　c>a＝d＝e>b 4．某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x. (1)求在第1 s内的平均速度； (2)求在1 s末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s 【解】　(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为＝ m/s. (2)＝ ＝ ＝6＋3Δx＋(Δx)2. 当Δx→0时，→6， 所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s. (3)＝＝ ＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx. 当Δx→0时，→2x2＋2x＋2， 令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2， 即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s. ... ...