学业分层测评(三) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题 1．已知f(x)＝x2，则f′(－2)＝_____. 【解析】 f′(x)＝2x，∴f′(－2)＝2×(－2)＝－4. 【答案】 －4 2．若函数f(x)＝，则f′(8)＝_____. 【解析】 f′(x)＝(x)′＝x－，则f′(8)＝×(23)－＝×2－2＝. 【答案】 3．已知f(x)＝xz(z为常数)，若f′(－1)＝－4，则z的值是_____． 【解析】 f′(x)＝zxz－1，由f′(－1)＝－4，得z·(－1)z－1＝－4，所以z＝4. 【答案】 4 4．点P在曲线y＝上，曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P的坐标为_____． 【解析】 y′＝(4x－2)′＝－8x－3，设点P(x0，y0)，依题意得 －8x＝tan 135°＝－1，∴x0＝2. 又P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝1. 【答案】 (2,1) 5．曲线y＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为_____． 【解析】 ∵y′＝x，设切点坐标为， ∴x0＝1，则y0＝，切点为，切线的斜率为1， ∴切线方程为：y－＝x－1，即x－y－＝0. 【答案】 x－y－＝0 6．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝_____. 【解析】 ∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－， 又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m， 由g′(2)＝，∴m＝－4. 【答案】 －4 7．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N ，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是_____． 【解析】 由y＝x2(x>0)得，y′＝2x， ∴函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为： y－a＝2ak(x－ak)， 令y＝0，得x＝，即ak＋1＝， ∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 【答案】 21 8．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝_____. 【解析】 依题意知，f(1)＝×1＋2＝， f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3. 【答案】 3 二、解答题 9．求下列函数的导数 (1)y＝；(2)y＝sin； (3)y＝2sin cos ；(4)y＝logx2－logx. 【解】 (1)y′＝()′＝(x)′＝x＝x. (2)∵y＝sin ＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. (3)∵y＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (4)∵y＝logx2－logx＝logx， ∴y′＝(logx)′＝＝－. 10．求证：双曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数． 【证明】 由xy＝1，得y＝，从而y′＝－. 在双曲线xy＝1上任取一点P， 则在点P处的切线斜率k＝－. 切线方程为y－＝－(x－x0)， 即y＝－x＋. 设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点， 则A(2x0,0)，B， 故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2. 所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数． [能力提升]1．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝_____. 【解析】 f′(x)＝2x，g′(x)＝，由f′(x)－g′(x)＝1，得2x－＝1，解之得x1＝－，x2＝1.∵x>0，∴x＝1. 【答案】 1 2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 016(x)＝_____.【解析】 由题意f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，则可知周期为4.从而f2 016(x)＝f4(x)＝sin x. 【答案】 sin x 3．设曲线y＝xn＋1(n∈N )在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为_____． 【解析】 ∵y′＝(n＋1)xn，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，则xn＝.故an＝lg＝lg n－lg (n＋1)．所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 98－lg 99)＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2. 【答案】 －2 4．已知曲线C：y＝x2－2x＋3，直线l：x－y－4＝0，在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最短，并求出最短距离． 【解】 设与直线l：x－y－4＝0平行，且与曲线C：y＝x2－2x＋3相切的直线为x－y＋k ... ...
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