走进2018中考数学典型问题研究第四讲反比例函数综合（解析版）

走进2018中考数学典型问题研究第四讲反比例函数综合研究 类型1：反比例函数与几何图形的结合 【例题1】 （2017浙江义乌）如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC=2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为　（4，1）　． 【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据点A的坐标可以求得反比例函数的解析式和点B的横坐标，进而求得点B的坐标，本题得以解决． 【解答】解：∵点A（2，2）在函数y=（x＞0）的图象上， ∴2=，得k=4， ∵在Rt△ABC中，AC∥x轴，AC=2， ∴点B的横坐标是4， ∴y==1， ∴点B的坐标为（4，1）， 故答案为：（4，1）． 【举一反三】 （2017甘肃天水）如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积． 【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式； （2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得． 【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=，得：m=8， 则反比例函数解析式为y=， 当x=﹣4时，y=﹣2， 则点B（﹣4，﹣2）， 将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b， 得：， 解得：， 则一次函数解析式为y=x+2； （2）由题意知BC=2， 则△ACB的面积=×2×6=6． 类型2：反比例函数与一次函数的结合 【例题2】 （2017山东滨州）在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y=x和双曲线y=相交于点A、B，且AC+BC=4，则△OAB的面积为（　　） A．2+3或2﹣3 B． +1或﹣1 C．2﹣3 D．﹣1 【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】根据题意表示出AB，BC的长，进而得出等式求出m的值，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：设点C的坐标为（m，0），则A（m，m），B（m，）， 所以AB=m，BC=． ∵AC+BC=4， ∴可列方程m+=4， 解得：m=2±．所以A（2+，2+），B（2+，2﹣）或A（2﹣，2﹣），B（2﹣，2+）， ∴AB=2． ∴△OAB的面积=×2×（2±）=2±3． 故选：A． 【举一反三】 （2017深圳）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x＞0）的表达式； （2）求证：AD=BC． 【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式； （2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论． 【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=中，得，m=2×4=8， ∴反比例函数的解析式为y=， 将点B（a，1）代入y=中，得，a=8， ∴B（8，1）， 将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，， ∴， ∴一次函数解析式为y=﹣x+5； （2）∵直线AB的解析式为y=﹣x+5， ∴C（10，0），D（0，5）， 如图， 过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F， ∴E（0，4），F（8，0）， ∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2， 在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD==， 在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC==， ∴AD=BC． 类型3：反比例函数与变换问题的结合 【例题3】 （2016·湖北荆州·3分）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】先根据S△ABO=4，tan∠BAO=2求 ... ...