函数性质的综合 高考频度：★★★★ 难易程度：★★★ 已知是定义在上的奇函数，且，若时，有. （1）证明：在上是增函数； （2）解不等式； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【参考答案】（1）详见试题解析；（2）；（3）. （2）∵是定义在上的奇函数，∴即， 又在上是增函数，∴，解得. （3）由（1）知在上是增函数，则在上的最大值为， 要使对恒成立，只要， 设恒成立， ∴， 故实数的取值范围是. 【名师点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶 性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度： （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 1．已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 2．已知函数满足，关于轴对称，当时，，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）证明：函数在定义域上是增函数； （3）设，是否存在正实数使得函数在内的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．【答案】A 【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数 减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【名师点睛】利用周期性与对称性比较函数值的 大小，一般是将要比较大小的函数值利用周期性与对称性转化为已知区间上的函数值，再利用函数的单调性即可比较大小． 3．【解析】（1）∵∴又∴ ∴. （2）设为区间内的任意两个自变量，且 则 ， ∵∴ 又∵∴∴ 即∴在上为增函数. （3）由（2）知在内为增函数，∴ 令则. ③当时在上单调递增，当时，取得最小值， 解得矛盾，舍去. 所以存在使函数在内的最小值为.周末培优 高考频度：★★★★ 难易程度：★★★ 已知二次函数的图象与轴交于点,图象关于对称,且. （1）求的解析式; （2）若函数为奇函数,求的值; （3）是否存在实数,使的定义域与值域分别是,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由. 【参考答案】（1）；（2）1；（3）存在，使的定义域与值域分别是. 【试题解析】（1） 的图象与轴交于点 , 图象关于对称,∴, 由得,解得, . （2）若是奇函数,则是奇函数, +=0, 解得. （3）解法一：存在，使的定义域与值域分别是. ,对称轴为, ① , 是方程的其中两根, ,或或,即,不满足. ②,,, 或, （i）, (舍去)； （ii）,. ③若,, , . ∵, (舍去), 故存在，使的定义域与值域分别是. 【解题必备】（1）由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． （2）若奇函数的定义域包括，则． （3）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 1．已知定义在上的函数满足,在区间上,,若,则 A．1 B． C． D． 2．已知函数 （1）若函数f(x)在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若且不等式对一切实数恒成立，求的取值范围. 1．【答案】A 【解析】因为,所以函数的周期为2，所以，所以a=，则. 2．【解析】（1）因为，所以 ， 由题意，在上单调递增，则有,即，解得 . ... ...
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