备战2018中考数学专题突破 第六讲四边形与多边形

第六讲四边形与多边形 【专题知识结构】 【专题解题分析】 四边形与多边形在中考中的常见考点有多边形的内角和与外角和；平行四边形的性质与判定，平行四边形中有关角及线段的相关计算；矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定；四边形的综合考查等．中考中四边形与多边形的考查形式多样，对平行四边形、菱形等的判定的考查也常出现开放型题目； 解决四边形问题常用的数学思想就是转化思想、方程思想；常用的数学方法有分类讨论法，逆向思维法等. 【典型例题解析】 例题1: 如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　6　． 【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质． 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，从而得出结果． 【解答】解：设BE与AC交于点P，连接BD， ∵点B与D关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． 即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度； ∵正方形ABCD的边长为6， ∴AB=6． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=6． 故所求最小值为6． 故答案为：6． 　例题2: 如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点， （1）求证：BC=DE； （2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？ 【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质． 【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可． （2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决． 【解答】（1）证明：∵E是AC中点， ∴EC=AC． ∵DB=AC， ∴DB∥EC． 又∵DB∥EC， ∴四边形DBCE是平行四边形． ∴BC=DE． （2）添加AB=BC． （ 5分） 理由：∵DBAE， ∴四边形DBEA是平行四边形． ∵BC=DE，AB=BC， ∴AB=DE． ∴ ADBE是矩形． 例题3：（2017 四川绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2，∠AEO=120°，则FC的长度为（　　） A．1 B．2 C． D． 【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形． 【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长． 【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°， ∴∠EDO=30°，∠DEO=60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°， ∴∠FOC=60°﹣30°=30°， ∴OF=CF， 又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=， ∴OF=tan30°×BO=1， ∴CF=1， 故选：A． 例题4：如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由． 【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形的判定． 【分析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证； （2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC、AD∥BC， ∴∠ABD=∠CDB， ∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC， ∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC， ∴∠EBD=∠FDB， ∴BE∥DF， 又∵AD∥BC， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∴∠EDB=90 ... ...