2018高考数学考点突破--直线与圆（复习课）（学案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 直线与圆（复习课） 【考点突破】 考点一、直线方程与两直线的位置关系 【例1】　(1) 直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点(　　) A．(1，－3)　　　　　 B．(4,3) C．(3,1) D．(2,3) (2) 一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ [答案] (1)C　(2) D [解析] (1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0， 由解得则直线过定点(3,1)． (2)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)． 设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0. 由反射光线与圆相切，则有d＝＝1， 解得k＝－或k＝－. 【类题通法】 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标． 2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用． 【对点训练】 1. 已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为(　　) A．7 B．9 C．11 D．16 [答案] B [解析] 直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行， ∴2n＝m(n－1)， ∴m＋2n＝mn， 又m>0，n>0，得＋＝1. ∴2m＋n＝(2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9. 当且仅当＝时取等号． ∴2m＋n的最小值为9. 考点二、圆的方程 【例2】　(1)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为(　　) A．y2－4x＋4y＋8＝0　　　 B．y2＋2x－2y＋2＝0 C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0 (2)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　) A．2 B．8 C．4 D．10 [答案] (1)C　(2)C [解析] (1)由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)． ∴过点C(－2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0. (2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 ∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2， ∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4. 【类题通法】 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解． 【对点训练】 2．直线l：＋＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，则△OAB内切圆的方程为_____． [答案] (x－1)2＋(y－1)2＝1 [解析]　 由题意，设△OAB的内切圆的圆心为M(m，m)，则半径为|m|. 直线l的方程＋＝1可化为3x＋4y－12＝0， 由题意可得＝m，解得m＝1或m＝6(不符合题意，舍去)． ∴△OAB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1. 考点三、直线与圆的综合问题 【例3】　(1) 如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2. (I)圆C的标准方程为_____； (II)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_____． (2) 设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为_____． (3) 已知过 ... ...