2018高考数学答题模板--三角变换与三角函数性质问题（学案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 三角变换与三角函数性质问题 例1　已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)． (1)求f的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． 审题破题　(1)将x＝代入，可得f的值；(2)将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式． 解　法一：(1)f＝2cos ＝－2cos ＝2. (2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1 ＝sin＋1， 所以T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1 ＝sin＋1. (1)f＝sin ＋1＝sin ＋1＝2. (2)T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 构建答题模板 第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式；21世纪教育网版权所有 第二步：由y＝sinx，y＝cosx的性质，将ωx＋φ看做一个整体，解不等式，求角的范围或函数值的范围；21教育网 第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果计算是否有误． 对点训练1　（1）已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0. (I)当ω＝1时，求f 的值； (II)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值. 解　(I)当ω＝1时，f ＝sin ＋cos ＝＋0＝. (II)f(x)＝sin ωx＋cos ＝sin ωx＋cos ωx－sin ωx ＝sin ωx＋cos ωx＝sin. ∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin. 由x∈，得2x＋∈， ∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1. （2）已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin 2x＋cos 4x. (I)求f(x)的最小正周期及单调减区间； (II)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值. 解　(I)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x＋cos 4x ＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin， ∴f(x)的最小正周期T＝. 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 得＋≤x≤＋，k∈Z. ∴f(x)的单调减区间为，k∈Z. (II)∵f＝，即sin＝1. 因为α∈(0，π)，－<α－<， 所以α－＝， 故α＝. 因此tan＝＝＝2－. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)