2018高考数学答题模板--直线与圆的综合求解策略（学案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 直线与圆的综合求解策略 例5　在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与x轴的交点和点(0,1)都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求a的值． 审题破题　(1)求出曲线与x轴的交点，根 据三点坐标灵活设出圆的方程；(2)将直线和圆的方程联立，根据根与系数的关系，转化已知条件求出a的值．21世纪教育网版权所有 解　(1)曲线y＝x2－6x＋1与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可设圆C的圆心为(3，t)， 则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2， 解得t＝1. 则圆C的半径为＝3. 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组： 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0. 设x1，x2是方程的两根， 从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.① 由于OA⊥OB， 可得x1x2＋y1y2＝0， 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1. 构建答题模板 第一步：求出曲线与x轴的交点坐标； 第二步：求出圆心和半径并且写出圆的方程； 第三步：将直线和圆的方程联立； 第四步：求出联立后方程的判别式以及根与系数的关系； 第五步：根据垂直的等价条件———数量积为零求出字母a的值. 对点训练5　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).21教育网 (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程； (3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围. 解　(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5， 由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)， 且＝b＋5. 解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1. (2)∵kOA＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0. 又|BC|＝|OA|＝＝2， 由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝＝＝2， 即＝2，解得m＝5或m＝－15. ∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形， 又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10. ∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10， 解得2－2≤t≤2＋2. 故所求t的范围为[2－2，2＋2]. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)