2018高考数学考点突破--简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（学案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 【考点梳理】 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p∧q，p∨q，﹁p的真假判断 p q p∧q p∨q ﹁p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示． (2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为 x∈M，p(x)． (3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ”表示． (4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为 x0∈M，p(x0)． 3．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 x∈M，p(x) x0∈M，﹁p(x0) x0∈M，p(x0) x∈M，﹁p(x) 【考点突破】 考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断 【例1】　(1) 设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　) A．p∨q B．p∧q C．(﹁p)∧(﹁q) D．p∧(﹁q) [答案] A [解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题． a，b，c是非零向量， 由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc， ∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题． 综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题． 又∵﹁p为真命题，﹁q为假命题， ∴(﹁p)∧(﹁q)，p∧(﹁q)都是假命题． 【类题通法】 1.“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题真假判断的关键是对 逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形 式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命 题的真假． 2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”． 【对点训练】 1. 命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　) A．p∨q B．p∧q C．q D．﹁p [答案] B [解析] 取x＝，y＝，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确． 故綈p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题． 考点二、全称命题、特称命题 【例2】　(1) 命题“ x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是(　　) A． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B． x (0，＋∞)，ln x＝x－1 C． x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D． x0 (0，＋∞)，ln x0＝x0－1 (2) 不等式组的解集记为D，有下面四个命题： p1： (x，y)∈D，x＋2y≥－2； p2： (x，y)∈D，x＋2y≥2； p3： (x，y)∈D，x＋2y≤3； p4： (x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中的真命题是(　　) A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 [答案] (1) A　(2) C [解析] (1) 改变原命题中的三个地方即可得其否定， 改为 ，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A. (2) 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 由 得交点A(2，－1)． 目标函数的斜率k＝－>－1， 观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0y＝－＋，表示纵截距．结合题意知p1，p2正确． 【类题通法】 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论． 2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题． 3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．只要找到 ... ...