2018高考数学考点突破--等比数列及其前n项和（学案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 等比数列及其前n项和 【考点梳理】 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab.21教育网 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝ 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a； (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；21·cn·jy·com (4)在等比数列{an}中，等距离 取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.21·世纪*教育网 【考点突破】 考点一、等比数列的基本运算 【例1】　(1)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　) A．32　　　　　 B．64 C．128 D．256 (2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于_____．【来源：21cnj*y.co*m】 [答案] (1)C　(2)2n－1 [解析] (1)∵{an}为等比数列，a 2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0， ∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128. (2)设等比数列的公比为q，则有 解得或 又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1. 【类题通法】 1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．21cnjy.com 2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．【出处：21教育名师】 【对点训练】 1. (1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝_____. [答案] (1)C　(2)28 [解析] (1)根据已知条件得 ②÷①得＝3. 整理得2q2－q－1＝0， 解得q＝1或q＝－. (2)由题可知{an}为等 比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.【来源：21·世纪·教育·网】 考点二、等比数列的判定与证明 【例2】　已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝，求λ. [解析] (1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{an}是首项为，公比为的等比数列， 于是an＝n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n. 由S5＝得1－5＝，即5＝. 解得λ＝－1. 【类题通法】 等比数列的判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．2-1-c-n-j-y 【对点训练】 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.21*cnjy*com (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{bn}的通项公式． [解析]　 (1)证明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1，② ②－① ... ...