2018高考数学考点突破--数列的综合应用（学案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 数列的综合应用 【考点突破】 考点一、等差、等比数列的综合问题 【例1】　已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63. (1)求{an}的通项公式； (2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和． [解析] (1)设数列{an}的公比为q. 由已知，有－＝， 解得q＝2或q＝－1. 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1， 所以a1·＝63，得a1＝1. 所以an＝2n－1. (2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1) ＝(log22n－1＋log22n)＝n－， 即{bn}是首项为，公差为1的等差数列. 设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝＝2n2. 【类题通法】 1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{logban}(b>0，且b≠1)是等差数列． 2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化． 【对点训练】 1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？ [解析] (1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0. 若a1＝0，则Sn＝0. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0， 所以an＝0(n≥1). 若a1≠0，则a1＝. 当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1， 两式相减得2an－2an－1＝an， 所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列， 所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝. 综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝. (2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lg， 由(1)知，bn＝lg＝2－nlg 2. 所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2. b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0， 当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg