第25讲 圆的有关性质 【知识梳理】 知识点一：圆的概念及性质 1．圆的概念 (1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性． 重点： 圆的概念 难点： 圆的对称性 知识点二：垂径定理及其推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 重点：垂径定理的。 难点：对其垂径定理推论的运用 知识点三：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等． 2．推论 同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立． 重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 难点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 知识点四：圆心角与圆周角 1．概念：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角． 2．性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一半； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等； (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 重点：圆周角的定义。 难点：.圆周角性质的运用 知识点五：垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的． 重点：垂径定理的理解 难点：垂径定理的及其推论的运用。 【考点解析】 考点一：圆周角与圆心角的应用 【例题1】（2017青海西宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=120°，则∠DCE= 60° ． 【考点】M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理． 【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠BOD=120°， ∴∠A=∠BOD=60°． ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠DCE=∠A=60°． 故答案为：60°． 【例题2】如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ） A．25° B．40° C．50° D．65° 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【分析】首先连接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案． 【解答】解：连接OC， ∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°， ∴AB是直径， ∵∠A=25°， ∴∠BOC=2∠A=50°， ∵CD是圆O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠D=90°﹣∠BOC=40°． 故选B． 考点二、垂径定理及应用 【例3】如图，AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（ ） A．EF∥CD B．△COB是等边三角形 C．CG=DG D．的长为π 【考点】弧长的计算；切线的性质． 【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据垂径定理判断C；利用弧长公式计算出的长判断D． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B， ∴AB⊥EF，又AB⊥CD， ∴EF∥CD， ... ...
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