2018高考数学（文）热点题型训练--数列（精练）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 数列 1.已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得 a1＋2d＝2，3a1＋d＝， 化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝， 解得a1＝1，d＝， 故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝. (2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8. 设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2， 故{bn}的前n项和 Tn＝＝＝2n－1. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列.21cnjy.com (1)求数列{an}的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)依题意得 解得∴an＝2n＋1. (2)∵＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1， ∴Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1， 3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n， 两式相减得， －2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n， ∴Tn＝n×3n. 3.已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐 标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b. 由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2， 所以f(x)＝3x2－2x. 又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上， 所以Sn＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5； 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式， 所以an＝6n－5(n∈N*). (2)由(1)得bn＝＝ ＝·， 故Tn＝ ＝＝. 4.在数列{an}中，log2an＝2n＋1，令bn＝(－1)n－1·，求数列{bn}的前n项和Tn.21世纪教育网版权所有 解　由题意得bn＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1. 当n为偶数时，Tn＝－＋ －…－＝－； 当n为奇数时，Tn＝－＋ －…＋＝＋， 故Tn＝ 5.正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝eq \f(n＋1,（n＋2）2a)，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<. (1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又a1＝2＝2×1. 综上，数列{an}的通项an＝2n. (2)证明　由于an＝2n，bn＝eq \f(n＋1,（n＋2）2a)， 则bn＝＝. Tn＝ ＝<＝. 所以对于任意的n∈N*，都有Tn＜. 6.已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，对任意正整数n，Sn＋(n＋m)an＋1<0恒成立，试求m的取值范围.21教育网 解　(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4， 代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8. ∴a2＋a4＝20， ∴解得或 又{an}单调递增，∴∴an＝2n. (2)bn＝2n·log2n＝－n·2n， ∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① ∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，② ①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1 ＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2. 由Sn＋(n＋m)an＋1<0， 得2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意正整数n恒成立， ∴m·2n＋1<2－2n＋1，即m<－1对任意正整数n恒成立.∵－1>－1， ∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1]. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.co ... ...