2018高考数学考点突破--三角函数的图象与性质（学案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 三角函数的图象与性质 【考点梳理】 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．【来源：21cnj*y.co*m】 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．【出处：21教育名师】 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 递增区间：k∈Z，递减区间：k∈Z 递增区间：[2kπ－π，2kπ]k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]k∈Z 递增区间(k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心(kπ，0)k∈Z 对称中心k∈Z 对称中心k∈Z 对称轴x＝kπ＋(k∈Z) 对称轴x＝kπ(k∈Z) 周期性 2π 2π π 【考点突破】 考点一、三角函数的定义域与值域 【例1】　(1)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　) A．4　　　 B．5 C．6　　　 D．7 (2)函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为_____． [答案] (1)B　(2)∪ [解析] (1)∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x ＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋， 又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B. (2)由得 ∴－3≤x＜－或0＜x＜， ∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪. 【类题通法】 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求三角函数最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解． (2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．21世纪教育网版权所有 (3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解．21教育网 【对点训练】 1. (1)已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　) A．2　　　 B．3　　　 C.＋2　　　 D．2－ (2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值. [答案] (1)B [解析] ∵x∈，∴cos x∈，故y＝2cos x的值域为[－2,1]， ∴b－a＝3.] (2)令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈， ∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋， ∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝， ∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为. 考点二、三角函数的单调性 【例2】　(1)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D．(0,2] (2)函数f(x)＝sin的单调减区间为_____． [答案] (1)A　(2)(k∈Z) [解析] (1)由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知 ， 所以解得≤ω≤. (2)由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所求函数的单调减区间为(k∈Z)． 【类题通法】 1.求三角函数单调区间的两种方法 (1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”． (2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω ＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错．21·cn·jy·com 2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 【对点训练】 2．(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是_____． (2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝_____. [答案] (1)(k∈Z)　(2) [解析]　 (1)由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)， 得－＜x＜＋(k∈Z)． (2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数； 当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数． 由f( ... ...