2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)： 2.2函数的单调性与最值 [最新考纲] 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性. 知识回顾 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是 或 ，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．21·cn·jy·com 二、函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有 ； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意x∈I，都有 ； (4)存在x0∈I，使得 . 结论 M为最大值 M为最小值 三、函数单调性的判定 1、用定义证明函数单调性的一般步骤 即： （1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1< x2. （2）作差：即f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。【来源：21cnj*y.co*m】 （3）定号：根据给定的区间和x2- x1符号，确定差f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号。当符号不确定时，可以进行分类讨论。【版权所有：21教育】 （4）判断：根据定义得出结论。 2、利用导数的基本步骤是： 3、求函数的单调性或单调区间的方法 （1）能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为: （2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为： （3）能求导的用导数法，其思维流程为： （4）能作差变形的用定义法，其思维流程为： 注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“∪” 四、应用函数的单调性 1．应用函数的单调性可求解的问题 (1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小； (2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系； (3)求解析式中参数的值或取值范围； (4)求函数的最值； (5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状. 考点例题精析 考点一 确定函数的单调性或单调区间 【例1】 (1)判断函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间． 解 (1)法一 任意取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).2·1·c·n·j·y 当≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0,1－＜0， 有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数； 当x1＞x2≥时，x1－x2＞0,1－＞0， 有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在[，＋∞)上为增函数； 综上可知，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数． 法二 f′(x)＝1－，令f′(x)＞0，则1－＞0， 解得x＞或x＜－(舍)．令f′(x)＜0，则1－＜0， 解得－＜x＜.∵x＞0，∴0＜x＜. ∴f(x)在(0，)上为减函数；在(，＋∞)上为增函数， 也称为f(x)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数． (2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数． 令u＝x2－4x＋3＞0.则x＜1或x＞3. ∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为 (－∞，1)∪(3，＋∞)． 又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上， ∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，【来源：21·世纪·教育· ... ...
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