2018年高考一轮精讲精练(2013-2017)： 2.4 幂函数与二次函数 最新考纲 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识回顾 一、幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0]减，[0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 二、幂函数定义的应用 1、相关链接 （1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量;③幂系数为1.21cnjy.com （2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征. （3）几个具体函数的定义 ①正比例函数 ； ②反比例函数 ； ③一次函数 ； ④二次函数 ； ⑤幂函数 （） 三、幂函数的图象与性质 （一）幂函数的图象及应用 幂函数的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从三方面考查： （1）的正负：>0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；2-1-c-n-j-y （2）曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲线下凸； （3）=（其中，且互质）。 ①当为偶数时，为偶函数，其图象关于轴对称； ②当都为奇数时，为奇函数，其图象关于原点对称； ③当为偶数，为奇数时，为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。 (4)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内； (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 注：幂函数的图象无论取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。 （二）幂函数的性质与应用 <一>比较幂值大小的类型及方法 (1)当幂的底数相同，指数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较； (2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较； (3)当幂的底数与指数都不同时，一种方法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另一种方法是找中介值，即找中间量，通过比较两个幂值与中间量的大小，确定两幂值的大小关系；【版权所有：21教育】 (4)比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与0、1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再比较大小，最后确定各数间的大小关系. <二>幂函数y=xα的性质 (1)定义域、值域及奇偶性,要视α的具体值而定. (2)当α＞0时，幂函数在(0，+∞)上是增函数，当α＜0时，幂函数在(0，+∞)上是减函数. 四、幂函数中的三类讨论题 所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现． 五、二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(x)＝ 的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式： ； ②顶点式： ， 为顶点坐标； ③两根式： 其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0?y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当x＝－时，y ... ...
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