21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 第7讲图形面积类问题 面积问题，常常以一次函数、二次函数以及反 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )比例函数图象为背景，结合常见的平面几何图形，如三角形、四边形等，一般都通过分割，建立面积函数模型，用函数知识解决问题，具有一定的综合性． 其题型一是各类几何图形为载体，赋予动点、 动线和动面，在动态背景下探究面积问题；二是面积问题常常与函数、函数图象联系，探究面积的最值等问题．21世纪21世纪教育网有【来源：21·世纪·教育·网】 考点1：面积函数图像问题 【典型例题】：（2017甘肃天水）如图所 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．21教育网 （1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； （2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值； （4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2-1-c-n-j-y 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）解方程即可得到结论； （2）根据直线l：y=kx+b过 A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a； （3）过E作EF∥y轴交直 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；21*cnjy*com （4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【来源：21cnj*y.co*m】 【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 对称轴为直线x= =1； （2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0）， ∴0=﹣k+b， 即k=b， ∴直线l：y=kx+k， ∵抛物线与直线l交于点A，D， ∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k， 即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0， ∵CD=4AC， ∴点D的横坐标为4， ∴﹣3﹣ =﹣1×4， ∴k=a， ∴直线l的函数表达式为y=ax+a； （3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a）， 则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a， ∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF= （ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣ （ax2﹣3ax﹣4a）x= （ax2﹣3ax﹣4a）= a（x﹣ ）2﹣ a， ∴△ACE的面积的最大值=﹣ a， ∵△ACE的面积的最大值为 ， ∴﹣ a= ， 解得a=﹣ ； （4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形， 令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0， 解得：x1=1，x2=4， ∴D（4，5a）， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 设P（1，m）， ①若AD是矩形ADPQ的一条边， 则易得Q（﹣4，21a）， m=21a+5a=26a，则P（1，26a）， ∵四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2， ∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2， 即a2= ， ∵a＜0， ∴a=﹣ ， ∴P（1，﹣ ）； ②若AD是矩形APDQ的对角线， 则易得Q（2，﹣3a）， m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a）， ∵四边形APDQ是矩形， ∴∠APD=90°， ∴AP2+PD2=AD2， ∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2， 即a2= ， ∵a＜0， ∴a=﹣ ， ∴P（1，﹣4）， 综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P ... ...
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