【备考2018】高考数学真题精讲精练专题7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（2013-2017）

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)： 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲剖析 1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 知识回顾 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过 的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条 直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条 直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3)平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于 的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况． (2)平面与平面的位置关系有 、 两种情况． 精讲方法 一、空间点、直线、平面之间的位置关系 （一）异面直线的判定 证明两直线为异面直线的方法： 1、定义法（不易操作） 2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。【来源：21·世纪·教育·网】 3、客观题中，也可用下述结论： 过平面处一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图： （二）平面的基本性质及平行公理的应用 1、平面的基本性质的应用 （1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内 （2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论： （1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 （1）点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。2·1·c·n·j·y （2）线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。 （3）证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。 （三）异面直线所成的角 （1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；21教育名师原创作品 （2）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． (2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 例题精讲 ... ...