小升初奥数专题 第三讲 数论的方法技巧之一

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 小升初奥数专题讲座（共二十五讲） 第三讲 数论的方法技巧之一 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。【来源：21·世纪·教育·网】 小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：2-1-c-n-j-y 1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得 　　a=bq+r（0≤r＜b）， 且q，r是唯一的。 特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。 2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。 3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。【来源：21cnj*y.co*m】 4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： 　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。 5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。 下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。 3.1 利用整数的各种表示法 　　对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：21世纪教育网版权所有 　　1．十进制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0； 　　2．带余形式：a=bq+r； 　　 　　4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。 　　例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？【出处：21教育名师】 　　解： 　　解： 　　 　　例3 从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？【版权所有：21教育】 　　解： 　　例4 求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，它共有10个约数。 　　解： 　　例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？ 　　解： 　　说明：上述5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解。 3.2 枚举法 　　枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。21·世纪*教育网 　　运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。21教育名师原创作品 　　例6 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。 　　解： 　　例7 将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？ 　　解： 　　 　　说明：（1）我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数，反之亦然。 　　 　　 （2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每 ... ...