上海市向明中学2018届高三8月摸底考试数学试题（PDF版）

2017 学年第一学期向明中学摸底考 高三年级数学试卷 2017.8.30 一、填空题（本大题满分 54 分） 3n 1 1. lim _____ ； n 3 n 2. 已知函数 f x 2x 1(x 0) ，则 f x 的反函数 f 1(x) _____ ； 5 3. 在 x y 的二项展开式中， x3 的系数是_____； 2 4. 已知抛物线 x 2py(p 0)上的点 m,3 到焦点的距离为 5，则 p _____ ； a i 5. 已知 （ i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为_____； 1 2i 6. 已知 i, j 为平面内所有向量的一组基，且 a i j,b j,c 4i j ，若用a,b 表示 c ， 则 c _____； 7. 若等差数列的前 6 项和为 23，前 9 项和为 57，则数列的前 n 项和 Sn _____ ； 8. 已知函数 y f x 是定义在R 上的偶函数，且在 0, 上式增函数，若 f a f 4 ， 则实数a的取值范围是_____； 9. 从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动，选出的 3 人中若男女同学 都有的概率为_____（结果用数值表示）； 2 10. 若函数 y 2arccos(sin x)的定义域是 , ，则它的值域为_____； 3 3 11. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，异面直线 A1B与B1C 所成角的大小为_____； 2 0 1 1 12. 记矩阵 A 0 1 0 6 中的第 i 行第 j 列上的元素为ai , j . 现对矩阵A中的元素按如 1 3 0 0 下算法所示的步骤作变动（直到不能变动为止）：若ai, j ai 1, j ，则 p ai, j ，ai, j ai 1, j ， ai 1, j p ；若 ai, j ai 1, j ，则不变动，这样得到矩阵 B. 在对矩阵 B 中的元素按如下算法 所示的步骤作变动（直到不能变动为止）：若 ai, j ai, j 1 ，则 q ai, j ， ai, j ai, j 1 ， ai, j 1 q；若ai, j ai, j 1，则不变动，这样得到矩阵 C，则 C=_____； 二、选择题（本大题满分 20 分） 1 an 22 n 1 13. 用数学归纳法证明：1 a a a a 1,n N ，在验证n 1成立 1 a 时，计算左边所得结果是（ ） A、1 B、1 a C、1 a a2 2 3 D、1 a a a 14. 经过点P x0 , y0 ，且方向向量为d u,v 的直线方程是（ ） x x0 y y0 x x0 u vA、 B、 C、y y0 x x0 D、u y y0 v x x0 u v y y0 v u 4 5 15. 在 ABC 中，已知cos B ， sin C ，则cos A （ ） 5 13 63 33 63 33 A、 B、 C、 或 D、以上答案都不对 65 65 65 65 16. 对于函数 f x ，若存在区间 A m,n ，使得 y y f x , x A A，则称函数 f x 为“可等域函数”，区间 A 为函数 f x 的一个“可等域区间”。给出下来四个函数： 2 x （1）f x sin x ；（2）f x 2x 1；（3）f x 1 2 ；（4）f x log2 2x 2 ； 2 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） A、（1）（2）（3） B、（2）（3） C、（1）（3） D、（2）（3）（4） 三、解答题（本大题满分 76 分） 17. （第（1）6 分，第（2）题 8 分）直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC AA1 2， ABC 45 .（1）求直三棱柱 ABC A1B1C1的体积；（2）若 D 是 AC 的中点，求异面直 线 BD与 A1C所成的角。 18. （第（1）题 7 分，第（2）题 7 分） 已知向量d 3sin3x, y ，b (m,cos3x m) m R ，且a b 0，设 y f x ； 2 （1）求 f x 的表达式，并求函数 f x 在 , 上图像最低点 M 的坐标； 18 9 （2）若对任意 x 0, ， f x t 9x 1恒成立，求实数 t 的范围。 9 19. （第（1）小题 6 分，第（2）题 8 分） 某企业 2016 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降， 若不进行技术改造，预测从今年（2017 年）起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该 企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年 1 （今年为第一年）的利润为500(1 ) 万元（n 为正整数）。 2n （1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元，进行技术改 造后的累计纯利润为Bn 万元（须扣除技术改造资金），求 An ，Bn 的表达式； （2 ... ...