1.6 微积分基本定理 微积分基本定理 已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x. 问题1：f(x) 和F′(x)有何关系？ 提示：F′(x)＝f(x)． 问题2：利用定积分的几何意义求 (2x＋1)dx的值． 提示： (2x＋1)dx＝6. 问题3：求F(2)－F(0)的值． 提示：F(2)－F(0)＝6－0＝6. 问题4：(2x＋1)dx与F(2)－F(0)有什么关系？ 提示：f(x)dx＝F(2)－F(0)． 1．微积分基本定理 内容 如果f(x)是区间上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a) 符号 f(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a) 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下．则 (1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则f(x)dx＝S上． (2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则＝－S下． (3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f(x)dx＝S上－S下；若S上＝S下，则＝0. (1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法———转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量． (2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，再计算F(b)－F(a)． (3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分． 求简单函数的定积分 求下列定积分： (1)(x2＋2x＋3)dx； (2) (cos x－ex)dx； (3)sin2dx. (1) (x2＋2x＋3)dx ＝x2dx＋2xdx＋3dx ＝＋x2＋3x＝. (2) (cos x－ex)dx＝cos xdx－exdx ＝sin x－ex＝－1. (3)sin2＝， 而′＝－cos x， ∴sin2dx＝dx ＝＝－＝. 由微积分基本定理求定积分的步骤 当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下． 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； 第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)． 计算下列定积分： (1)dx； (2)(1＋)dx； (3)∫－(sin x＋2x)dx. 解：(1)因为(ex＋ln x)′＝ex＋， 所以dx＝(ex＋ln x)＝e2＋ln 2－e. (2)因为(1＋)＝x＋，′＝x＋， 所以(1＋)dx＝(x＋)dx＝＝. (3)法一：因为(－cos x＋x2)′＝sin x＋2x， 所以∫－(sin x＋2x)dx＝(－cos x＋x2)－＝0. 法二：令f(x)＝sin x＋2x，因为函数f(x)＝sin x＋2x为奇函数，所以f(x)＝sin x＋2x的图象关于原点对称，即曲线y＝f(x)位于x轴上方的图形面积与位于x轴下方的图形面积相等，故由定积分的几何意义可得，所求定积分为0. 求分段函数的定积分 已知f(x)＝计算f(x)dx. f(x)dx＝ f(x)dx＋f(x)dx＝ (4x－2π)dx＋cos xdx. 取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π； 取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x. 所以 (4x－2π)dx＋cos xdx ＝(2x2－2πx) ＋sin x＝－π2－1， 即f(x)dx＝－π2－1. 分段函数的定积分的求法 (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算． (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． 计算定积分－4|x＋3|dx. 解：因为f(x)＝|x＋3|＝ 所以|x＋3|dx＝(－x－3)dx＋(x＋3)dx ＝＋＝5. 利用定积分求参数 设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值． 因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且′＝ax2＋c， 所以f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝＋c＝ax＋c， 解得x0＝或x0＝－(舍去)． 即x0的值为. 利用定积分求参数应注意的问题 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限． 已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式． 解：设f(x)＝ax ... ...
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