2018高考数学教材改编典题精练--函数的奇偶性与周期性

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 函数的奇偶性与周期性 【考点梳理】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.奇(偶)函数的性质 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”“相反”)． 3．周期性 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【教材改编】 1．(必修1 P35例5(3)改编)函数f(x)＝x＋＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为(　　) A．－3　　　　 B．－1 C．1　　　　 D．2 [答案] B [解析] 由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋＋1＋(－a)＋＋1＝2. ∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，故选B. 2．(必修1 P35例5(4)改编)函数f(x)＝的大致图象为(　　) [答案] D [解析] ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上为减函数， 又∵f(－x)＝＝＝f(x)， ∴f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故选D. 3．(必修1 P39 A组T6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．则x＜0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x(1＋x) B．f(x)＝x(1－x) C．f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝x(x－1) [答案] B [解析] 法一：由题意得f(2)＝2×(1＋2)＝6. ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－2)＝－6. 经验证，仅有f(x)＝x(1－x)时，f(－2)＝－6.故选B. 法二：当x＜0时，－x＞0， ∴f(－x)＝－x[1＋(－x)] 又f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)． ∴－f(x)＝－x(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)，故选B. 4．(必修1 P39 B组T3改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a＜b＜0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上(　　) A．有最大值4 B．有最小值－4 C．有最大值－3 D．有最小值－3 [答案] B [解析] 法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B. 法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]， 由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4， ∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4， f(x)max＝3，故选B. 5．(必修1 P35 例5改编)下列函数中既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的是(　　) A．y＝|x|＋1　　　　　　 B．y＝log|x| C．y＝x4 D．y＝2x [答案] B [解析] 对于选项A，y＝|x|＋1＝是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减； 对于选项C，y＝x4是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减； 对于选项D，y＝2x不是偶函数； 只有选项B，y＝log|x|＝是偶函数， 且在(－∞，0)上单调递增，满足条件，故选B. 6．(必修1 P45 B组T6改编)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[－7，－3]上是(　　) A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 [答案] B [解析] 因为奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5， 所以在区间[－7，－3]上是增函数且最大值为－5，故选B. 7．(必修1 P44A组T8改编)已知f(x)＝，则下列结论中，正确的个数为(　　) ①f(x)是偶函数；②f＋f(2 017)＝0； ③f(x)max＝1；④方程f(x)＝x有且只有一个零点． A．1　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 [答案] D [解析] 由题意易知①显然正确； ②f＋f(x)＝＋＝＋＝0正确；对于③，f(x)＝＝－1＋， ∵x2≥0， ∴1＋x2≥1， ∴∈(0,2]， ∴f(x)∈(－1,1]正确；对于④，由f(x)＝x，得 1 ... ...