2018高考数学教材改编典题精练--简单的三角恒等变换

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 简单的三角恒等变换 【考点梳理】 1. 三角恒等变换的常用方法 如果函数解析式中出现及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．21教育网 2. 三角恒等变换与三角形的综合 在解三角形时使用三角恒等变换，主要利用正弦定理、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．21·cn·jy·com 3. 三角恒等变换与向量的综合 一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的 条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，把向量关系化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用． 【教材改编】 1．(必修4 P143A组T1(6)改编)的值为(　　) A． B． C． D． [答案] A [解析] 原式，故选A. 2．(必修4 P146A组T6(2)改编)的值为(　　) A． B． C． D． [答案] B [解析] . 又，，故选B. 3．(必修4 P143B组T2改编)设，用表示的式子为(　　) A． B． C． D． [答案] B [解析] ， ，. 4．(必修4 P143A组T2改编)已知，，则的值为(　　) A． B． C． D． [答案] C [解析] ，① ，② ①②得， ①②得， 则. 5．(必修4 P140例3改编)函数y＝sin x＋cos x的最大值为(　　) A．2 B．4 C．1＋ D． [答案] A [解析] y＝sin x＋cos x＝2 ＝2＝2sin ∴ymax＝2. 6．(必修4 P146A组T5(2)改编)cos 50°(－tan 10°)的值为(　　) A．1　　　　 B．－1 C．　　　　 D．－ [答案] A [解析] cos 50°(－tan 10°) ＝cos 50°· ＝cos 50°· ＝＝＝＝1.故选A. 7．(必修4 P147B组T4改编)已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)[ A．－ B．－ C．－ D． [答案] A [解析] ∵tan＝＝， ∴tan α＝－，∵－<α<0，∴sin α＝－，＝＝2sin α＝2×＝－.故选A. 8．(必修4 P146A组T6(3)（4）改编)已知，则 ． [答案] [解析] 法一：，，， ，， . 法二： . 9．(必修4 P147B组T8改编)已知直 线l的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝，当直线l与坐标轴围成的三角形的面积为6时，原点到直线l的距离为_____． [答案] [解析] ∵α为直线l的倾斜角，∴0≤α<π， 又∵sin α＋cos α＝，∴cos α＝－sin α， 由sin2α＋cos2α＝1， ∴25sin2α－5sin α－12＝0， ∴sin α＝或sin α＝－(舍去)，[ ∴cos α＝－，∴tan α＝－， 设直线l在y轴上的截距为b， ∴直线l的方程为y＝－x＋b， 令y＝0，l在x轴上的截距为， ∴|b|×|b|＝6，∴|b|＝4， ∴原点到直线l的距离d＝＝. 10．(必修4 P147B组T5改编)已知 sin θ，cos θ是关于x的一元二次方程x2－(2sin α)x＋sin2 β＝0的两实根，则＝_____．21cnjy.com [答案] [解析] 由题意得sin θ＋cos θ＝2sin α，① sin θ·cos θ＝sin2β，② ①2－2×②得 1＝4sin2α－2sin2β，即：2sin2β＝4sin2α－1， ∴＝ ＝＝. 11．(必修4 P147B组T6改编)若函数f(x)＝sin 2x＋2cos2 x＋m在区间[0，]上的最大值为6，求：21世纪教育网版权所有 (1)求函数f(x)的最小值与周期； (2)求函数f(x)的单调减区间． [解析] (1) f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＋m ＝2sin ＋1＋m， x∈[0，]，2x＋∈[，]， ∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝3＋m＝6. ∴m＝3. ∴f(x)＝2sin ＋4. ∴f(x)min＝－2＋4＝2. 周期T＝＝π. (2)法一：由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调减区间为，k∈Z. 法二：由f(x)＝2sin＋4得 f′(x)＝4cos≤0， ∴＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调减区间为，k∈Z. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） HYPERLINK "http://ww ... ...