2018高考数学教材改编典题精练--空间向量及其运算

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 空间向量及其运算 【考点梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 |a|＝0 单位向量 长度(模)为1的向量 |a|＝1 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a∥b 共面向量 平行于同一平面的向量 a∥α，b∥α 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.21世纪教育网版权所有 (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面 存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.【来源：21·世纪·教育·网】 (3)空间向量基本定理：如果三个向量a， b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．21·世纪*教育网 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在 空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a， b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2-1-c-n-j-y (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 【教材改编】 1．(选修2－1 P89练 习T2改编)如图，E是正方体ABCD A1B1C1D1上平面A1B1C1D1的中心，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于(　　) A．0 B．1 C．2 D. [答案] C [解析] ＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋＋ ∴x＝，y＝，z＝1，故选C. 2．(选修2－1 P98A组T8改编)已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝(　　)21cnjy.com A．3 B．4 C．2 D．2 [答案] D [解析] ∵a⊥b，∴a·b＝0. 即2×(－4)＋3×2＋x＝0，∴x＝2. ∴|b|＝＝2.故选D. 3．(选修2－1 P92练习T3改编) 如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α.且AB＝BD＝1，CD＝，则CA的长为(　　)21·cn·jy·com A．1 B. C. D．2 [答案] D [解析] 由题意得＝＋＋， 且||＝||＝1，||＝， ⊥，⊥，⊥. ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·， 即6＝||2＋2， ∴||＝2，即CA的长为2，故选D. 4．(选修2－1 P92练习T1改编)如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB1⊥BC1，则的值为(　　)21教育网 A. B．1 C. D. [答案] C [解析] 设＝a，＝b，＝c，且⊥，⊥，〈，〉＝60°，又设AB＝1， ∴＝a＋c. ＝－＝＋－ ＝－a＋b＋c. ∵AB1⊥BC1，∴·＝0， 即(a＋c)·(－a＋b＋c)＝0. ∴－a2＋c2＋a·b＋c·b＝0， ∴|c|2＋1×1×－12＝0. ∴|c|＝， ∴＝＝，故选C. 5．(选修2－1 P94练习T1改 编)若向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．2a [答案] C [解析] ∵a＋b，a－b分别与a，b,2a共面， ∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底． 6．(选修2－1 P105例1改编 )如图所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.则AC1的长为(　　)21*cnjy*com A. B. C．2 D. [答案] D [解析] 记＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝| ... ...