2018高考数学教材改编典题精练--正弦定理和余弦定理应用举例

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 正弦定理和余弦定理应用举例 【考点梳理】 1．应用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型主要有 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． 　 　　　　　图①　　　　　　　　　　图②　　　 (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 【教材改编】 1．(必修5 P19A组T7改编)如图， 飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)(　　) A．11.4 km　　　　　　　　　　 B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km [答案] B [解析] ∵AB＝1 000×1 000×＝ m， ∴BC＝·sin 30°＝ m. ∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 km. ∴山高为18－11.4＝6.6 km. 2．(必修5 P19A组T1改编)一艘船以 每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)21·cn·jy·com A．15 km B．30 km C．45 km D．60 km [答案] B [解析] 如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°， ∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°. 在△AMB中，由正弦定理， 得＝， 解得BM＝30，故选B. 3．(必修5 P14例5改编)如图，测量河 对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)2·1·c·n·j·y A．5 m B．15 m C．5 m D．15 m [答案] D [解析] 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝， 解得BC＝15(m)． 在Rt△ABC中， AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)． 4．(必修5 P24A组T 5改编)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m [答案] C [解析] 如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60(m)．【来源：21·世纪·教育·网】 在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－)(m)． 所以BC＝CD－BD＝60－60(2－) ＝120(－1)(m)． 5．(必修5 P13练习T1改编)如图 ，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是_____n mile/h.　21世纪教育网版权所有 [答案] 32 [解析] 设航速为v n mile/h， 在△ABS中AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°， 由正弦定理得＝，则v＝32. 6．(必修5 P15练习T1改编) 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ＝_____米．21·世纪*教育网 [答案] [解析] 在△APB中，∠PAB＝α－β，∠APB＝γ－α， ∠ABP＝180°－(γ－β)， 由正弦定理得＝， ∴AP＝ ＝， ∴PQ＝APsin α＝. 7．(必修5 P13例3改编)如图 所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_____m.21教育网 [答案] 30＋30 [解析] 在△PAB中， ... ...