2.2.1 对数的运算性质（学案） 一、学习目标 1．理解对数的运算性质．(重点) 2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)． 二、自主学习 教材整理1 对数的运算性质 阅读教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列问题． 对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)． 教材整理2 换底公式 阅读教材P65至P66“例5”以上部分，完成下列问题． 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)； 特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)． 三、合作探究 例1. 求下列各式的值： (1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18; (2)； (3)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72； (4)2log32－log3＋log38－52log53. 【自主解答】(1)法一； 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋ lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 法二； 原式＝lg 14－lg2＋lg 7－lg 18＝lg ＝lg 1＝0. (2)原式＝＝＝＝. (3)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝. (4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532 ＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7. 归纳总结：1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 例2. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1个有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【自主解答】 设物质的原有量为a，经过t年，该物质的剩余量是原来的，由题意可得a·0.75t＝a， ∴t＝，两边取以10为底的对数得lgt＝lg，∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t＝≈≈4(年)． 归纳总结：解对数应用题的步骤 例3. (1)已知log1227＝a，求log616的值； (2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值. 【自主解答】 (1)由log1227＝a，得＝a，∴lg 2＝lg 3. ∴log616＝＝＝＝. (2)法一； 原式＝·log52＋＋ ＝log52＋＋＝log25·(3log52) ＝13log25·＝13. 法二； 原式＝＋＋ ＝＝＝13. 法三 原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323) ＝(log52＋log52＋log52)＝3×log25·log52＝3×＝13. 归纳总结：1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底． 2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab·logba＝1，logab·logbc·logcd＝logad，logambn＝logab，logaan＝n，等，将会达到事半功倍的效果． 四、学以致用 1．求下列各式的值： (1)lg25＋lg 2·lg 50； (2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25. 【解】 (1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1. (2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3. 2．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的_____倍． 【解】 设9.0级地震所释放的能量为E1,5.0 ... ...
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