4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表 1．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则P点的坐标为 ( )． A．(－2，－8) B．(－1，－1)，(1,1) C．(2,8) D. 解析 y′＝3x2，由3x2＝3，得x＝1或x＝－1， ∴P点坐标为(1,1)或(－1，－1)． 答案 B 2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；②′＝cos；③若y＝，则y′|x＝3 ＝－；④(e3)′＝e3.其中正确的个数为 ( )． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析 (cos x)′＝－sin x，①错，sin＝，′＝0.②错，′＝－，∴y′|x＝3＝－，③正确，e3为常数，(e3)′＝0，④错． 答案 B 3．(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为 ( )． A．－9 B．－3 C．9 D．15 解析 y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)． 即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9. 答案 C 4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则平行于直线PQ的曲线 y＝x2的切线方程是_____． 解析 y＝x2的导数为y′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 则y′|x＝x0＝2x0，又kPQ＝＝1， 又切线平行于PQ，∴k＝y′| x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝. ∴切点M， ∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 答案 4x－4y－1＝0 5．曲线y＝sin x在点A处的切线方程为_____． 解析 y′＝cos x，y′|x＝＝，所以曲线在A点处的切线方程为y－＝.即x－2y＋－＝0. 答案 x－2y＋－＝0 6．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，求k. 解 设切点为P(x0，y0)，又y′＝(ln x)′＝. ∴点P处的切线斜率为， ∴k＝，x0＝，∴P. 又点P在直线y＝kx上，∴ln ＝k·＝1. ∴＝e，即k＝. 7．(2011·江西)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线的斜率为 ( )． A．1 B．2 C．e D. 解析 y′＝ex，y′|x＝0＝1.所以，所求切线的斜率为1. 答案 A 8．设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈ N，则f2 011(x)等于 ( )． A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 解析 f0(x)＝cos x，f1(x)＝－sin x，f2(x)＝－cos x， f3(x)＝sin x，f4(x)＝cos x，…， 由此看出，四个一循环，具有周期性，T＝4.∵2 011＝4×502＋3，∴f2 011(x)＝f3(x)＝sin x. 答案 A 9．曲线y＝log2x的一条切线的斜率为，则切点坐标为_____． 解析 y′＝，由＝，得x＝1.所以切点坐标为(1,0)． 答案 (1,0) 10．函数y＝－2sin的导数为_____． 解析 y＝－2sin ＝sin x，故y′＝cos x. 答案 cos x 11．求过曲线y＝ex上的点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程． 解 y′＝ex，∴曲线在点P处的切线的斜率为e1＝e. ∴过P点与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为－. ∴所求方程为y－e＝－(x－1)，即x＋ey－e2－1＝0. 12．(创新拓展)求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程． 解 设切点坐标为(x0，x)，则由于y′＝3x2，所以切线斜率为3x，切线方程为y－x＝3x(x－x0)，它过点(2,0)， ∴0－x＝3x(2－x0) ∴x0＝0或x0＝3. 若x0＝0，则切点坐标为(0,0)，切线方程为y＝0. 若x0＝3，则切点坐标为(3,27)，切线方程为y－27＝3×32(x－3)，即27x－y－54＝0. 所以，所求直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.(
课件网) 本章归纳整合 知识网络 第四章 导数及其应用 要点归纳 理解函数的平均变化率，要仔细观察函数图象的变化特点：一是不同点处的函数平均变化率不同；二是在同一点处当点P0向P靠近的不同程度时的函数的变化率的变化． 1．导数的概念及其计算 利用导数研究函数的单调性，要注意求函数单调区间的三个步骤，同时要注意函数的定义域，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间．否则，就会出现错误． 函数的极值与区间 ... ...
