21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 1、 熟练掌握不定方程的解题技巧 2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．21世纪教育网版权所有 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 二、运用不定方程解应用题步骤 1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解 模块一、不定方程与数论 【例 1】 把拆成两个正整数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要尽量大），求这两个数． 【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是的倍数，乙搬的砖数是的倍数，两人共搬了块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？21·世纪*教育网 【巩固】 现有足够多的角和角的邮票，用来付元的邮资，问角的邮票需要多少张？ 【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的倍，则满足条件的所有自然数之和为_____.【来源：21·世纪·教育·网】 模块二、不定方程与应用题 【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装千克油，小的能装千克油，千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？21*cnjy*com 【例 4】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以，让冬冬把自己命中的次数乘以，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？ 【巩固】 某人打靶，发共打了环，全部命中在环、环和环上．问：他命中环、环和环各几发？ 【例 5】 某次聚餐，每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？ 【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种棵树，女职工每人种棵树，每个孩子都种棵树，他们一共种了棵树，那么其中有多少名男职工？【出处：21教育名师】 【例 6】 张师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，李师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，两人天共缝制上衣和裙裤件，那么其中上衣是多少件？ 【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这天内它们共叫了声．问：波斯猫至少叫了多少声？ 21cnjy.com 【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成．甲每天生产300个配件，或生产150个配件；乙每天生产120个配件，或生产48个配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？ 【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要 ... ...
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