【苏教版】2017-2018学年高中数学必修4学案（31份打包，Word版，含解析）

2.4　向量的数量积 第1课时　数量积的定义 1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点) 2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点) 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点) [基础·初探] 教材整理1　向量的数量积 阅读教材P83的有关内容，完成下列问题． 　已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 已知|a|＝3，|b|＝6，则 (1)若a与b夹角为0°，则a·b＝_____； (2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝_____； (3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝_____. 【解析】　(1)若a∥b，则a与b的夹角为0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18. (2)a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝＝9. (3)a·b＝|a||b|cos 90°＝3×6×0＝0. 【答案】　(1)18　(2)9　(3)0 教材整理2　两个向量的夹角 阅读教材P83的有关内容，完成下列问题． 1．定义：已知两个非零向量a，b，如图2 4 1所示．作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角． 图2 4 1 2．范围：0°≤θ≤180°. 3．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向． 4．当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 试指出图2 4 2中向量的夹角， 图①中向量与的夹角_____； 图②中向量与的夹角_____； 图③中向量与的夹角_____； 图④中向量与的夹角_____． 图2 4 2 【答案】　θ　0°　180°　θ 教材整理3　向量的数量积的运算律及性质 阅读教材P84及P85链接完成下列问题． 1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ. (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2．数量积的性质： (1)a·a＝|a|2或|a|＝； (2)|a·b|≤|a||b|； (3)a⊥b a·b＝0. 3．数量积的几何意义： a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为_____；b与a上的投影为_____． 【解析】　a在b上的投影为|a|cos 45°＝3×＝； b在a上的投影为|b|cos 45°＝5×＝. 【答案】　　 [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：　 解惑：　 疑问2：　 解惑：　 疑问3：　 解惑：　 [小组合作型] 向量数量积的运算及几何意义 　已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． 【精彩点拨】　借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)． 【自主解答】　(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2 ＝8－15－27 ＝－34. 1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简． [再练一题] 1．已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·； (3)·. 【解】　(1)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120° ＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 求向量的模 　已知向量＝a，＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|. 【精彩点拨】　根据已知条件将向量的模利用|a|＝转化为数量积的运算求解． 【自主解答】　∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×＝8， ∴|a＋b|＝＝ ＝＝4， |a－b|＝＝ ... ...