学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题 1．下列命题： ①所有的菱形都是平行四边形； ②每一个三角形的内角和都是180°； ③有些偶数不能被5整除； ④一切平行四边形的对边都平行且相等； ⑤至少有一个x，使得2x＞1. 其中是存在性命题的为_____(填序号)． 【解析】 ①②④是全称命题，③⑤是存在性命题． 【答案】 ③⑤ 2．下列全称命题中真命题的个数为_____个． ①负数没有对数； ②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④ x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. 【解析】 容易判断①②③正确，④中，当x＝y＝0时不成立． 【答案】 ①②③ 3．用符号“ ”或“ ”表示下面含有量词的命题． (1)实数的平方大于或等于0：_____； (2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：_____. 【答案】 (1) x∈R，x2≥0 (2) x0，y0∈R,3x0－2y0＋1≥0 4．(2016·扬州高二检测)命题“ x＞0，x2＋x＞0”的否定是_____． 【解析】 因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“ x＞0，x2＋x＞0”的否定是“ x＞0，x2＋x≤0”． 【答案】 x＞0，x2＋x≤0 5．(2016·威海高二检测)已知命题p： x∈R，x＞sin x，则p的否定形式为_____． 【解析】 因为存在性命题的否定是全称命题，所以命题p： x∈R，x＞sin x的否定形式为： x∈R，x≤sin x. 【答案】 x∈R，x≤sin x 6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是_____． 【解析】 因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3. 【答案】 (－∞，3] 7．若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是_____. 【导学号：09390015】 【解析】 由条件知，“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1
0. 【解析】 根据含有一个量词的命题的否定知③错误． 【答案】 ③ 二、解答题 9．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (2)p：每一个非负数的平方都是正数； (3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°； (4)p：有的四边形没有外接圆； (5)p：某些梯形的对角线互相平分． 【解】 (1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题． (2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题． (3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题． (4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题． (5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题． 10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围． 【解】 法一 由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0. 整理得a＞－3或a＞－2， 即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)． 法二 非p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解， 令f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 则即解得a≤－3. 故命题p中，a＞－3. 即参数a的取值范围为(－3，＋∞)． [能力提升] 1．已知命题p：“a＝1”是“ x>0，x＋≥2”的充要条件，命题q： x∈R，x2＋x－1>0.则下列结论中正确的是_____． ①命题“且q”是真命题；②命题“且非q”是真命题；③命题“非且q”是真命题；④命题“非p或非q”是假命题． 【解析】 当a＝1时，x>0有x＋≥2成立，取a＝2时x>0有x＋≥2>2，故p是假命题；q是真命题，故①错误， ... ... 