二 平行线分线段成比例定理 更上一层楼 基础·巩固 1△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，不能判定DE∥BC的是……（ ） A.AD=5,AB=8,AE=10,AC=16 B.BD=1,AD=3,CE=2,AE=6 C.AB=7,BD=4,AE=4,EC=3 D.AB=AC=9,AD=AE=8 思路解析:对应线段必须成比例才能断定DE和BC是平行关系，显然C中的条件不成比例. 答案：C 2如图1-2-13所示，l1∥l2∥l3，若CH=4.5 cm，AG=3 cm，BG=5 cm,EF=12.9 cm，则DH=,EK=_____. 图1-2-13 图1-2-14 思路解析:由l1∥l2∥l3可得，所以=7.5. 同理,可得EK的长度. 答案：7.5 cm 34.4 cm 3如图1-2-14,在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC=7∶3，则DB∶AB的值为_____. 思路解析:由AE∶EC=7∶3,有 根据MN∥DE∥BC可得.，即得结论. 答案： 4如图1-2-15，已知AD∥BE∥CF，EG∥FH，求证:. 图1-2-15 思路分析:一般有平行的条件时可考虑平行线分线段成比例定理或其推论，也可以考虑用线段替换等方法.在本题中，的公比，问题可以据此得证. 证明：∵AD∥BE∥CF, ∴（平行线分线段成比例定理）. 又∵EG∥FH,∴ 5如图1-2-16，在四边形ABCD中，延长AD、BC交于F，延长AB、DC交于E，连结EF，且BD∥EF.求证:AC的延长线必平分EF. 图1-2-16 思路分析:本题可以利用平行四边形对角线特有的性质来证明线段相等，已知一组平行线，再做一组平行线EH∥BF，然后证明出CD∥HF即可. 证明：设AC延长后交EF于G，过E作BC的平行线交AG的延长线于H，连结HF， ∵EH∥BC,∴. 又∵BD∥EF,∴. ∴CD∥FH,即EC∥HF、CF∥EH. ∴四边形ECFH是平行四边形. ∴EG=GF,即AC的延长线必平分EF. 综合·应用 6如图1-2-17（1），已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立(不要求证明),若将图1-2-17（1）中的垂直改为斜交，如图1-2-17（2），AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥AB，交BD于点F，则: (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.(2)请找出S△ABD、S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明. (1) (2) 图1-2-17 思路分析:本题一是通过阅读发现题中蕴含着类比猜想的思想方法，因而易猜想关系式仍成立；二是有一处伏笔“不要求证明”，具有一定的迷惑性，因为论证猜想是否成立，还需“同样的方法”. （1）证明结论成立. ∵AB∥EF,∴. ∵CD∥EF,∴ ∴=1. ∴. （2）解：关系式为. 分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K. 由题设可得 ∵BD·AM=S△ABD,BD·CK=S△BCD,BD·EN=S△BED, ∴. 7如图1-2-18，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM、 CM的延长线分别交AC、AB于F、E.求证:EF∥BC. 图1-2-18 思路分析:要证明EF∥BC，想通过角之间的关系达到目的显然是不可能的，而要利用成比例线段判定两直线平行的判定定理，图中又没有平行条件，因此要设法作出平行线，以便利用判定定理.作平行线时，要充分考虑到中点D条件的应用. (1) (2) (3) 分析一:延长AD至G，使DG=MD，连结BG、CG,如图（1），则四边形BGCM为平行四边形，可以立即将转化成中间比. 解法一:延长AD至G，使DG=MD，连结BG、CG. ∵BD=DC,MD=DG, ∴四边形BGCM为平行四边形. ∴EC∥BG,FB∥CG. ∴=,=. ∴=.∴EF∥BC. 分析二:过A作BC的平行线，与BF、CE的延长线分别交于G、H，如图（2），则 .要证明，只要证AH=AG，这是不难解决的. 解法二:过A作BC的平行线，与BF、CE的延长线分别交于G、H. ∵AH∥DC,AG∥BD, ∴∵BD=DC,∴AH=AG. ∵HG∥BC,∴. ∵AH=AG,∴.∴EF∥BC. 分析三:如图（3），过M作BC的平行线，分别与AB、AC交于G、H， ∵BD=DC,GM=MH.要证EF∥BC，只要证，这可以通过中间比立即证得. 解法三:过M作BC的平行线，分别与AB、AC交于G、H， 则. ∵BD=DC,∴GM=MH. ∵GH∥BC,∵GM=MH,∴∴EF∥BC.三 相似三角形的 ... ...
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