2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)+PDF版含答案

2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8分和 0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9小题 4分为一个档次，第 10、 11小题 5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 设 f (x)是定义在R 上的函数，对任意实数 x有 f (x 3) f (x 4) 1．又 当0 x 7时， f (x) log2(9 x)，则 f ( 100)的值为 ． 1 答案： ． 2 解：由条件知， f (x 14) 1 f (x) ，所以 f (x 7) f ( 100) f ( 100 14 7) 1 1 1 f ( 2) ． f (5) log2 4 2 2. 若实数 x, y满足 x2 2cos y 1，则 x cos y 的取值范围是 ． 答案：[ 1, 3 1]． 解：由于 ，故 ． 由 可知， ．因此当 时， 有最小值 （这时 y 可以取 ）；当 时， 有最大值 1 （这时 y 可以取 ）．由于 (x 1)2 1的值域是[ 1, 3 1]，从而 x cos y 的取 2 值范围是[ 1, 3 1]． 2 2 3. 在平面直角坐标系 xOy C x y中，椭圆 的方程为 1， F 为C 的上焦 9 10 点，A为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积 的最大值为 ． 3 11 答案： ． 2 解：易知 A (3, 0), F (0, 1) ．设P 的坐标是 (3cos , 10 sin ), 0, ，则 2 3 11 sin( )． 2 3 11 其中 ．当 时，四边形OAPF 面积的最大值为 ． 2 1 4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳 数”．平稳数的个数是 ． 答案：75． 解：考虑平稳数abc． 若b 0，则 a 1, c {0,1}，有 2个平稳数． 若b 1，则 a {1, 2}, c {0,1, 2}，有 2 3 6个平稳数． 若 2 b 8，则 a, c {b 1, b, b 1}，有7 3 3 63个平稳数． 若b 9，则 a, c {8, 9}，有 2 2 4个平稳数． 综上可知，平稳数的个数是 2 6 63 4 75． 5. 正三棱锥 P ABC 中， AB 1, AP 2 ，过 AB 的平面 将其体积平分， 则棱 PC 与平面α 所成角的余弦值为 ． 3 5 答案： ． 10 解：设 AB, PC 的中点分别为K , M ，则易证平面 ABM 就是平面 ．由中线 长公式知 ， KM AM 2 AK 2 3 2 1 5所以 2 2 ． 2 又易知直线 PC 在平面 上的射影是直线MK ，而CM 1, KC 3 ，所以 2 ， 故棱 PC 与平面 3 5所成角的余弦值为 ． 10 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集K (x, y) | x, y 1, 0,1 ．在K 中随机 取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 5 的概率为 ． 4 答案： ． 7 y 解：易知K 中有 9 个点，故在K 中随机取出三个点的 A1 A2 A3 方式数为C39 84 种． 将 K 中的点按右图标记为 A1, A2, , A8, O，其中有8 A8 O A4 x 对点之间的距离为 5 ．由对称性，考虑取 A1, A4 两点的情 况，则剩下的一个点有 7 种取法，这样有7 8 56 个三点 A7 A6 A5 组（不计每组中三点的次序）．对每个 Ai (i 1, 2, , 8)，K 中恰有 Ai 3, Ai 5 两点与之距离为 5 （这里下标按模 8 理解），因而恰有 {Ai , Ai 3, Ai 5}(i 1, 2, , 8)这8个三点组被计了两次．从而满足条件的三点组个 数为56 8 48 4 48，进而所求概率为 ． 84 7 2 7. 在 ABC 中， M 是边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点．若 A ， 3 ABC 的面积为 3 ，则 AM AN 的最小值为 ． 答案： ． 解：由条件知， ， ，故 ． 1 3 由于 3 S ABC AB AC sin A AB AC ，所以 ，进2 4 一步可得 ，从而 ． 2 4 当 AB 4 , AC 2 3 时， 的最小值为 ． 3 8. 设两个严格递增的正整数数列{an}，{bn}满足：a10 b10 2017，对任意 正整数n ，有an 2 an 1 an , bn 1 2bn ，则a1 b1的所有可能值为 ． 答案：13, 20 ． 解：由条件可知：a1, a2 , b1 均为正整数，且 ． 由于 ... ...