第十八讲剩余、余数定理（无答案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 小升初奥数专题讲座（共二十五讲） 第十九讲 剩余、余数定理 被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数） 一、同余的定义： ①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。 例如：37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 21·cn·jy·com 二、同余的性质： ①自身性：a≡a(mod m)； ②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)； ③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)； ④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)； ⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)； ⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)； ⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)； 三、关于乘方的预备知识： ①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后的余数特征： ①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）； ②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)； 2·1·c·n·j·y 五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。 21*cnjy*com 同余定理1 如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。并且我们说a，b之间的差能被c整除。（a b c三个数都是自然数）【版权所有：21教育】 例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？ 习题1：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值. 同余定理2 a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。（a b c均为自然数）【来源：21·世纪·教育·网】 例2：22003除以7的余数是多少？ 习题2：3145368765987657的积,除以4的余数是_____. 例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？（中国剩余定理）21*cnjy*com 分析：此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。此题解法很多，在此介绍同余尝试法。在附录中有此种题型的一般解法。题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数： 2 ，9 ，16 ，23，30，37，43，50，57…… 在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5余3的数，显然， 23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4…… 以上数列都能满足前面两个要求。所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有 23，58，93，128，163，198，233，268，303，338…… 接下去，我们要继续考虑第三个条件，以上数列中满足除以3余数是2的数，显然 23，23+5×7×3，23+5×7×3×2，23+5×7×3×3…… 综上，我们发现 23，128，233，338，443…… 均能满足‘除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2’，其中最小的数是23。 以上的求解过程我们叫同余尝试法，难点在于尝试这个过程会导致计算量比较大，但是这种解题方法适应性强，条件可以无限制增加，方法不变。21教育网 习题3：有一类数，除以7余2，除以8余4，除以9余3。问这类数中最小的是什么？ 习题4：有一类自然数，其中每个数与3的和都是5的倍数，与4的差都是7的倍 ... ...