3.3.1 利用导数判断函数的单调性 课后导练 基础达标 1.已知f(x)=x2+2xf′(-1)，则f′(0)等于…( ) A.0 B.+4 C.-2 D.2 解析：f′(x)=2x+2f′(-1)，可令x=1,则f′(-1)=+2,∴f(x)=x2+4x.∴f′(0)=+4. 答案：B 2.设f(x)在(a,b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的_____条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案：A 3.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数，则( ) A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac<0 解析：f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立.因为a>0,则Δ=4b2-4·3ac<0,即b2-3ac<0. 答案：D 4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数( ) A. B.(π,2π) C. D.(2π,3π) 解（直接法）：y′=-xsinx,令y′>0,则x>0时，sinx<0,∴x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k≥0); x<0时，sinx>0,则x∈(2kπ,(2k+1)π)(k<0),结合题目知应选B. 答案：B 5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1］ C.(0,1) D.(0,1］ 解法一(直接法)：g′(x)=,f(x)=-x2+2ax的对称轴是x=a,要在［1,2］上为减函数，则有a≤1.再由条件知g′(x)=<0,∴a>0. 综上，0
0)的增区间为_____. 答案：(,+∞) 7.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是_____. 解析：f′(x)=3x2+2x+m. ∵f(x)在R上是单调递增函数， ∴f′(x)>0在R上恒成立，即3x2+2x+m>0. 由Δ=4-4×3m<0,得m>. 答案：m> 8.若函数f(x)=x3-mx2+m-2的单调减区间是(0，3)，则m=_____. 解析：f′(x)=3x2-2mx, ∵f(x)的递减区间是(0，3)， ∴0，3是3x2-2mx=0的根， ∴0+3=, ∴m=. 答案： 9.已知曲线y=x3+3x2+6x-10，点P(x,y)在该曲线上移动，过P的切线设为l. (1)求证：此函数在R上单调递增； (2)求l的斜率的范围. 答案： (1)证明：y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0恒成立.所以函数在R上递增. (2)解：由(1)知f′(x)=3(x+1)2+3≥3,所以l的斜率的范围是k≥3. 10.(2004全国高考Ⅱ，文19)已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围. 解：f′(x)=3ax2+6x-1. (1)当f′(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数. 3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0且Δ=36+12a<0a<-3. 所以，当a<-3时，由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是减函数. (2)当a=-3时，f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x-)3+,由函数y=x3在R上的单调性，可知当a=-3时，f(x)(x∈R)是减函数. (3)当a>-3时，在R上存在一个区间，其上有f′(x)>0,所以，当a>-3时，函数f(x)(x∈R)不是减函数.综上，所求a的取值范围是(-∞,-3］. 综合运用 11.设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上f′(x)>0且有f(2a2+a+1)0 ∴f(x)在(-∞，0)上为增函数 又f(x)为偶函数 ∴f(x)在(0，+∞)上为减函数 且f(-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1) ∴原不等式可化为f(2a2+a+1)0 3a2-2a+1>0恒成立 ∴2a2+a+1>3a2-2a+1 解得00,则f′(x)>0,x∈(-∞,+∞),此时f(x)只有一个单调区间，与原条件矛盾，若a=0,则f′(x)=1>0,此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾.若a<0,f′(x)=3a·(x+)(x-),综上可知a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为(-∞,-)和(,+∞),增区间为(-,). 13.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1，求f(x)的单调区间. 解：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］, 令f′(x)=0, 解得x1=0,x2=a-1. (1)当a=1时，f′(x)=6x2,f(x)在( ... ... 