1.1.1 集合的概念 课堂导学 三点剖析 一、集合的概念 【例1】判断下列语句能否确定一个集合?如果能表示一个集合,指出它是有限集还是无限集. (1)申办2008年奥运会的所有城市. (2)举办2008年奥运会的城市. (3)举办2016年奥运会的城市. (4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人的全体. (5)大于零且小于1的所有的整数. (6)大于零且小于1的所有的实数. 思路分析:紧扣“集合”“有限集”“无限集”的定义解决问题. 解:(1)申办2008年奥运会的是几个确定的不同的城市,能组成一个集合,且为有限集. (2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合且为有限集. (3)因为举办2016年奥运会的城市现在还不确定，因此它不能构成一个集合. (4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人是确定的、不同的.这些人的全体能组成一个集合,且为有限集.21cnjy.com (5)大于零且小于1的所有整数能组成一个集合.这个集合中不含任何元素,即为空集,它是有限集. (6)大于零且小于1的实数也是确定的,因此这样的所有的实数也能组成一个集合,且为无限集. 二、元素与集合的关系 【例2】用符号∈或填空. (1)2_____{x|x<},+_____{x|x≤2+}. (2)3_____{x|x=n2+1,n∈N},(-1,1)_____{y|y=x2}.2·1·c·n·j·y (3)设x=,y=3+π,M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q}，则x_____M,y_____M. 思路分析:看所要判断的元素是否能化成集合中元素的形式,方能判定它们的关系. 解:(1)2=>. +==7<==2+. ∴填,∈. (2)设n2+1=3,n=±N,∴填. 把(-1,1)代入y=x2成立,但(-1,1)是有序实数对,而{y|y=x2}是y值的集合， ∴填. (3)x==,∈Q,∈Q. ∴x∈M. ∵πQ，∴yM. ∴填∈，. 答案:(1) ∈ (2) (3)∈ 温馨提示 判断元素与集合的关系,要明确集合中元素的特征,准确理解集合是解题的关键. 要记清常见数集的符号表示,在判断时,常需先把所给元素化简. 三、利用集合元素的性质解决问题 【例3】已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}. (1)若A只有一个元素,试求a的值,并求出这个元素; (2)若A是空集,求a的取值范围; (3)若A至多有一个元素,求a的取值范围. 解析:(1)当a=0时,此方程为2x+1=0,只有一个根为x=; 当a≠0时,则Δ=0,即4-4a=0, ∴a=1,此时方程有两个相等的实根x1=x2=-1. 综上可知,当a=0或a=1时,集合A中分别只有一个元素为或-1. (2)若A为空集,则即得a>1. (3)集合A至多有一个根,包括集合A为空集和集合A为只有一个元素的集合两种情况,所以a的取值范围是a=0或a≥1.21世纪教育网版权所有 各个击破 类题演练1 给出下列表述:①联合国常任理事国;②充分接近2的实数的全体;③方程x2+x-1=0的实数根;④全国著名的高等院校.以上能够构成集合的是( ) A.①③ B.①② C.①③④ D.①②③④ 解析:①包括确定的国家;③二次方程有确定的根;②④无法确定个体.故选A. 答案:A 变式提升1 下列各组对象能否构成集合? (1)所有好人;(2)小于2 003的数;(3)和2003非常接近的数. 思路分析:对于给定集合,元素必须是确定的,如(1)中对象,好人的标准不确定,无法确定其元素. 解:(1)(3)中对象不能构成集合;(2)中对象能构成集合. 温馨提示 (1)判断一个语句能否确定一个集合，除考虑定义外，还应从集合中元素的“确定性”和“互异性”上来判断.【来源：21·世纪·教育·网】 (2)如果一个语句里一个元素也没有,它仍然能确定一个集合,即空集. (3)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的.集合里面元素的个数很多,但不一定是无限集.21·世纪*教育网 类题演练2 用符号∈或填空: (1)0_____N*; (2)(-4)0_____N*; (3)_____Z; (4)0_____. 思路分析:确定元素是否在集合中,要根据元素是否满足集合的性质来确定. 答案:(1) (2)∈ (3) (4) 变式提升2 用符号∈或填空: (1)π_____Q;(2)(-1)0_____N;(3)_____{x∈Q|x<};(4)+_____{x|x≤2+};(5)11_____{x|x=n2+n-1 ... ...
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