专题10 最优化 阅读与思考 数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有： 1．配方法 由非负数性质得． 2．不等分析法 通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质 对二次函数，若自变量为任意实数值，则取值情况为： （1）当，时， ； （2）当，时， ； 4．构造二次方程 利用二次方程有解的条件，由判别式确定变量的取值范围，进而确定变量的最值． 例题与求解 【例1】当变化时，分式的最小值是 ． （全国初中数学联赛试题） 解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值． 【例2】已知，且，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 13 （太原市竞赛试题） 解题思路：待求式求表示为关于x(或y)的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x、y的隐含限制． 【例3】，在的范围内最小值2a，最大值2b，求实数对(a，b). 解题思路:本题通过讨论a，b与对称轴的关系得出结论． 【例4】（1）已知的最大值为a，最小值b，求的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题） 求使取得最小值的实数的值． （全国初中数学联赛试题） （3）求使取得最小值时x，y的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题） 解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等． 【例5】如图，城市A处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费最低？ （河南省竞赛试题） 解题思路：设铁路与公路的交点为C，AC＝x千米，BC＝y千米，AD＝n千米，BD＝m千米，又设铁路每千米的运费为a元，则从A到B的运费，通过有理化，将式子整理为关于的方程． 【例6】（1）设，，…，（），为k－r＋1个互不相同的正整数，且xr＋xr＋1＋…＋xk＝2003，求的最大可能值． （香港中学竞赛试题） （2）a，b，c为正整数，且，求c的最小值． （全国初中数学联赛试题） 解题思路：对于(1)，因r＝1，对k－r＋1＝ k－1＋1＝k个正整数x1，x2，…，xk，不妨设x1＜x2＜…＜xk＝2013，可见，只有当各项x1，x2，…，xk的值愈小时，才能使k愈大（项数愈多），通过放缩求k的最大值；对于（2），从入手． 能力训练 A级 1．已知三个非负数a，b，c，满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为_____，最大值为 ． 2．多项式p＝2x2－4xy＋5y2－12y＋13的最小值为 ． 3．已知x，y，z为实数，且x＋2y－z＝6，x－y＋2z＝3，那么x2＋y2＋z2的最小值为 ． （“希望杯”邀请赛试题） 4．若实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2＝9，则代数式(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值为 ( ) （全国初中数学联赛试题） 5．已知两点A(3，2)与B(1，－1)，点P在y轴上且使PA＋PB最短，则P的坐标是（ ） A.(0，) B.(0，0) C.(0，) D.(0，) （盐城市中考试题） 6．正实数，满足，那么的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. E. （黄冈市竞赛试题） 7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量(件)与销售单价(元/件)可近似看作一次函数的关系（如图所示）. （1）根据图象，求一次函数的解析式； （2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元． ①试用销售单价表示毛利润； ②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？ ... ...
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