高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明练习（打包4套） 选修1_2

2.2.1 直接证明 自主广场 我夯基 我达标 1.要证明+＜可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ） A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法 思路解析:要证明＜成立，用分析法最合适. 答案:B 2.a＞0,b＞0,则下列等式中不成立的是（ ） A.a+b+≥ B.（a+b)(+)≥4 C.≥a+b D. . 思路解析:利用基本不等式即可. 对于A:a+b+≥+≥，当且仅当a=b时取等号，所以成立. 对于B:(a+b)(+)≥·2=4，当且仅当a=b时取等号，所以成立. 对于C：≥(a+b)·=a+b,当且仅当a=b时取等号，所以C成立. 对于D：,所以D错误. 3.设x＞0,y＞0,A=,B=,则A与B的大小关系为（ ） A.A＞B B.A≥B C.A＜B D.A≤B 思路解析:∵x＞0,y＞0,∴B==A，即B＞A. 答案:C 4.若a＞0,b＞0,则有（ ） A.＞2b-a B.＜2b-a C.≥2b-a D.≤2b-a. 思路解析:b2-2ab+a2≥0b2≥a(2b-a) ≥2b-a. 答案:C 5.若p=,q=(m、n、b、c、d均为正数），则p、q的大小关系为（ ） A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.不确定 思路解析:q=≥=p. 答案:B 6.若x、y∈R,且2x2+y2=6x,则x2+y2+2x的最大值为（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 思路解析:由y2=6x-2x2≥0得0≤x≤3,从而x2+y2+2x=-(x-4)2+16. ∴当x=3时，最大值为15. 答案:B 7.已知a＞b＞c,n∈N*,且+≥恒成立，则n的最大值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 思路解析: ∴nmax=4 答案:C 8.已知：函数f(x)=tanx,x∈(0,),若x1,x2∈(0, ）且x1≠x2. 证明：［f(x1)+f(x2)］＞f() 证明：欲证［f(x1)+f(x2)］＞f 即证：(tanx1+tanx2)＞tan 只需证：, 即证 ∵x1+x2∈(0,π), ∴sin(x1+x2)＞0,1+cos(x1+x2)＞0, cosx1·cosx2＞0, ∴只需证1+cos(x1+x2)＞2cos(x1+x2)＞2cosx1·cosx2, 即证：1+cos(x1+x2)＞cos(x1+x2)+cos(x1-x2), 即证：1＞cos(x1-x2). ∵x1,x2∈(0,)且x1≠x2, ∴x1-x2∈(-,0)∪(0,). ∴0＜cos(x1-x2)＜1,即1＞cos(x1-x2)成立. 故原等式成立. 9.已知a、b、c表示△ABC的边长，m＞0，求证：. 证明：构造函数f(x)=,x＞0. 设x1,x2∈(0,+∞),且x1＜x2. 且f(x2)-f(x1)= =. ∵x1,x2∈(0,+∞),x2＞x1,∴x2-x1＞0, m+x2＞0,m+x1＞0, ∴f(x2)-f(x1)＞0,即f(x2)＞f(x1) ∴f(x)=在(0,+∞)上是增函数. 在△ABC中，a+b＞c,则＞成立. ∴有, ∵, ∴成立. 我综合 我发展 10.设a与b为正数并且满足a+b=1,a2+b2≥k,则k的最大值为（ ） A. B. C. D.1 思路解析:∵a2+b2≥ (a+b)2= (当且仅当a=b时取等号）. ∴Kmax=. 答案:C 11.已知函数f(x)=()x,a、b∈R+,A=f(),B=f(),C=f(),则A、B、C的大小关系为（ ）21cnjy.com A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 思路解析:≥≥,又函数f(x)=()x,在(-∞,+∞)上是单调减函数. ∴f()≤f()≤. 答案:A 12.(精典回放）函数f(x)=3x, 对于任意x1、x2,都有（ ） A.f(x1x2)=f(x1）f（x2) B.f(x1x2)=f(x1)+f(x2). C.f(x1+x2)=f(x1)f(x2) D.f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) 思路解析:∵f(x1+x2)==f(x1)·f(x2) 答案:C 13.(精典回放）设f(n)=(n∈N*),则f(n+1)-f(n)=( ) A. B. C. + D. - 思路解析:∵f(n+1)= ∴f(n+1)-f(n)= = 答案:D 14.(精典回放）已知函数f(x)=,g(x)= (1)证明f(x)是奇函数； （2）分别计算f(4)-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.21·cn·jy·com 证明：（1）函数f(x)的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，又f(-x)=. ==-f(x) ∴f(x)为奇函数. （2）f(4)-5f(2)g(2)=0 f(9)-5f(3)g(3)=0 由此归纳猜想：f(x2)-5f(x)g(x)=0 (x∈R,x≠0). ∵f(x2)-5f(x)g(x) ==0 15.(2006年天津高考卷，文21)已知数列{xn}满足x1=x2=1,并且(λ为非零参数，a=2,3,4, …).21教育网 (1)若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值; （2）设0＜λ＜1,常数k∈N*,且k≥3. 证明：(μ∈N*). （1）解：由已知x1=x2=1,且 ... ...