第四章 图形的性质 第27节 特殊的平行四边形■考点1. 特殊平行四边形的性质与判定 1.性质 （具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等） 矩 形 菱 形 正方形 （1）四个角都是直角 （2）对角线相等且互相平分.即 AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽 =2S△ABD=4S△AOB. （1）四边相等 （2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高 =对角线_乘积的一半 (1)四条边都相等，四个角都是直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长 =2S△ABD =4S△AOB 2.判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平行四边形 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行四边形 （3）四条边都相等的四边形 （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、平分 3.联系 注意：(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.21世纪教育网版权所有 （2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为 等边 三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角. （3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边. ■考点2.特殊平行四边形的拓展 1.中点四边形 （1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 2.特殊四边形中的解题模型 （1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2. （2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一 点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求 法利用面积法，需连接PO.） 图① 图② 图③ 图④ ■考点1. 矩形的性质、判定 与应用 ◇典例： 1.（2017?西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）21·cn·jy·com A．5 B．4 C． D． 34 【考点】矩形的性质． 【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB， ∴OM是△ADC的中位线， ∵OM=3， ∴DC=6， ∵AD=BC=10， ∴AC==2， ∴BO=AC=， 故选D．21·世纪*教育网 2.(2016云南中考)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.2-1-c-n-j-y (1)求tan∠DBC的值； (2)求证：四边形OBEC是矩形． 【分析】(1)由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BCD的度数，即可求出tan∠DBC的值；(2)由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠DBC＝∠ABC， ∴∠ABC＋∠BAD＝180°. ∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2， ∴∠ABC＝60°， ∴∠DBC ＝∠ABC＝30°， ∴tan∠DBC＝tan30°＝； (2)∵BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OBEC是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°. ∴四边形OBEC是矩形． ◆变式训练 （2017?怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm， ... ...
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