两河流域的数学 学案 (2)

两河流域的数学 一、自学目标：通过自学本节内容，了解的两河流域数学成就的主要内容，体会古巴比伦的数学特色。 二、自学内容提炼 （一）知识梳理： 泥板书上的数学成就 　　考古学研究表明，古巴比伦人当时使用的是特殊的 ，并把文字刻在泥板上晒干，晒干后的泥板变得和石头一样坚硬，可以长期保存；但岁月的侵蚀还是使得大部分泥板书消蚀破损，保存下来的泥板书数量远不及埃及的纸草书。不过，这并不影响后人对古巴比伦灿烂文化的全面了解。古巴比伦人对于数学的发现和记载，也是采用这种独特的泥板书，在已经挖掘出的50万块古巴比伦泥板中，纯数学泥板有300块左右。 1、进位制： 进制 从这些存世发掘的数学泥板书中人们发现，古巴比伦人不仅早就形成“逢十进一”的概念，而且掌握了每隔 进一的计数法。在泥板上，古巴比伦人用“▼”表示1，用“<”表示10，从1 到9 是把“▼”写相应的次数， 而 以内的其他数字则通过“▼”和“<”的组合实现。比如35，就用：<<<▼▼▼▼▼来表示。 2、算术与代数 古巴比伦人还掌握了许多计算方法，并且编制有各种数表辅助计算。从数学泥板书上，人们发现古巴比伦人使用 表、 表、 和 表、 和 表。他们在代数领域达到了相当高的水平，能卓有成效地处理一般的三项二次方程和某些三次方程，特别是开方根的算法非常成熟。美国耶鲁大学收藏的一块编号7289的古巴比伦泥板书上，载有的近似值，用现代阿拉伯数字表示就是1.414213，这已是相当的精确。古巴比伦人还掌握了等差数列的概念，对级数问题有一些研究。 3、几何 他们还具备初步的几何知识，能把不规则形状的田地分割为 形、 形和 形来计算面积，也能计算简单的体积。他们非常熟悉 圆周的方法，求得圆周与直径的比π＝3，甚至还使用了 定理。 　　 （二）典例选讲 1、兄弟分银与等差数列 　　在德国柏林博物馆收藏的一块古巴比伦数学泥板书上记载了这样一道题目：兄弟10人分3/5米那的银子（米那和后面的赛克尔都是古巴比伦的重量单位，其中1米那＝60赛克尔），相邻的兄弟俩，比如老大和老二、老二和老三……所分银子的差相等，而且已知老八分到的银子是6赛克尔，求每人所得的银子数量？通俗转化的意思是：“10个兄弟分100两银子，一个比一个多，只知道每一级相差的数量都一样，但究竟相差多少不知道，现在第八个兄弟分到6两银子，问每级间相差多少？”这是一则涉及到等差数列的问题，古巴比伦人给出的解题方法是如此巧妙简便，甚至连小学生也能理解。 　　他们的具体解答是：首先要判断出10个兄弟分得的银子数，从老大到老十要么越来越多，要么越来越少。如果10个兄弟平均分这100两银子，则每人应该分到10 两。而现在第八个兄弟分到了6两，说明只能是第二种情况，即老大分得多，往下是一个比一个少。 　　其次，要找到各兄弟所得银子数间的关系。根据题意条件，假设老十的银子数为A，一级相差d，那么老九的银子数为A+d，老八的银子数为A+2d，老七的银子数为A+3d……老三的的银子数为A+7d，老二的银子数为A+8d，老大的银子数为A+9d。这样不难得出，老大与老十的银子数之和＝老二与老九的银子数之和＝老三与老八的银子数之和＝老四与老七的银子数之和＝老五与老六的银子数之和，这样100两银子就分成了相等的5组，每组为20两。 　　最后，就从老三与老八的银子数之和为20两入手。由老八的银子数6 两，可求出老三的银子数为20－6=14 （两），这就说明，老三比老八多得14-6=8 （两）。而老三与老八相差（A +7d）- （A+2d）＝5d，因此可求得一级相差d=8÷5=1.6（两）。 　　　　 2、“普林顿322号”与勾股数 　　在古巴比伦数学泥板书中，最引人瞩目的当数“普林顿322号”。这是美国哥伦比亚大学普林顿收集馆的第322号收藏品。此泥板书完成于公元 ... ...