欧几里得与《原本》 学案 (1)

欧几里得和《原本》 一、自学目标：通过本专题的学习，了解欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，理解公理化思想的内涵。 二、自学内容提炼 （一）提出疑问： 1、《原本》的内容主要有哪些？ 2、如何理解欧几里得对数学发展的功绩？ （二）新知导入 1、黄金时代——— 学派 从公元前338年希腊联邦被马其顿控制，到公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”。 古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家 、 和 。 2、 的《几何原本》 欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用 法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。 欧几里得(Euclid，活动于约前300-)古希腊数学家。以其所著的《几何原本》闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说。 公元前300年左右，在托勒密王一世（公元前306～前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410～485）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的 学习箴言。 另一则故事，说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。 阿基米德比欧几里得年轻40岁，他可能在亚历山大城欧几里得的后辈的指导下学习，学习的仍然是几何方法。 欧几里得将公元前 7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统（相容性、独立性、完备性）之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《几何原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。 原本”的希腊文原意是指一个学科中最重要的定理，《原本》所包含的正是这样一些数学定理。欧几里在这里运用公理法则对当时的数学知识进行了系统化、理论化的总结。其书共分 卷，包括 条公理、 条公设、 个定义和 条命题，构成了人类文明 史上第一个演绎数学的 体系。 在内容上，《原本》总结并推广了毕达哥拉斯学派的几何成就，欧多克斯的比例理论，以及几乎所有以前的立体几何知识，此外，还有大量的初等数论定理。 欧多克斯对比例的界定并未限制涉及到的量是否可以公度，从而巧妙地回避了无理量问题，因而能够适用于更加广泛的几何命题证明。《原本》对欧多克斯比例理论的精彩阐述。这被认为是该书的最大成就之所在，因为它在当时的认识水平上，消除了由不可公度量引起的数学危机。 （三）5条公设和5条公 ... ...