2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度5：恒成立与存在性问题 1.设函数 . (1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围； (2)当时， 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 试题解析：（1）方程即为，令，则， 当时， 随变化情况如表： ↗ 极大值 ↘ ， 当时， ， 的取值范围是. （2）依题意，当时， 恒成立， 令， 则， 令，则当时， ， 函数在上递增， ， 存在唯一的零点， 且当时， ，当时， ， 则当时， ，当时， ， 在上递减，在上递增， 从而， 由得，两边取对数得， ，即实数的取值范围是. 2.已知函数在点处的切线方程为. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若存在，满足，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（I）利用导数求得切线方程，将其和已知的切线方程对比，可得.（II）将原不等式分离常数，得到在上有解，令，利用其二阶导数判断出在区间上单调递减，求得其最小值，进而得到的取值范围. 试题解析： （Ⅰ）函数的定义域为. 因为，所以. 所以函数在点处的切线方程为 ，即. 已知函数在点处的切线方程为，比较求得. 所以实数的值为. 所以函数在区间上单调递减. 所以 . 所以，即在区间上单调递减. 所以 . 所以实数的取值范围为. 点睛：本题主要考查函数导数与切线，函数导数与不等式存在性问题的求解.第一问涉及函数导数与切线的问题，主要把握住两个关键，一个是切点的坐标，一个是在切点处切线的斜率.第二问根据存在性问题求参数的取值范围，主要采用分离常数法，利用导数求得含有部分函数的最值，即可求得参数的取值范围. 3．已知函数. （1）研究函数的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 在上单调递增;(2) . 【解析】试题分析：(1)二次求导确定函数的单调区间;(2) 不等式在上恒成立. 在上恒成立，转求的最小值即可. (2)依题在上恒成立， 设，则在上恒成立， ， 欲使在上恒成立，则，得， 反之，当时， ， 设，则 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 故，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 综上所述， 在上恒成立， 所以的取值范围是. 4. 已知, （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）若，使成立，求参数的取值范围. 【答案】（1）的减区间为, 的增区间为， ;（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，列表可得出结果；（Ⅱ）将题意可转化为时， 成立，对函数进行求导，分为当时， ，即，即，设，对其求导，求出的最小值；当时，列表可得， 解不等式得结果. 试题解析：（Ⅰ） ， 时 ， 增 减 增 的减区间为 的增区间为， （Ⅱ）由题意，即 ， 当时， 单调递增 即 即 设 即恒成立 无解 当时 且，由（1）知恒成立，若使则且 [1] ， ， [2] 由[1][2]取交集： 点睛：本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想在解不等式中的应用以及利用导数解决存在性问题，需注意它和恒成立问题的区别，具有一定的难度；由，得函数单调递增， 得函数单调递减；对于存在性问题，使成立等价于成立. 5.已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）若， 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：(1) 求出函数的导数，通过讨论 的范围， 得增区间， 得减区间； (2)问题转化为，讨论 的范围，根据函数的单调性求出 的最小值即可求出 的范围. （2）令，由（1）可知，函数的最小值为，所以，即. 恒成立与恒成立等价， 令，即，则. ①当时， .（或令，则 在上递增，∴，∴在上递增，∴. ∴）. ∴在区间上单调递增， ∴， ∴恒成立. ②当时，令，则， 当时， ，函数单调递增. 又， ， ∴存在，使得，故当时， ，即，故函数在上单调递减；当时， ，即，故函数在上单调递增， ∴， 即， 不恒成立， 综上所述， ... ...
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