课时跟踪检测（十四） 均值不等式 层级一 学业水平达标 1．下列结论正确的是( ) A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当02x C.≤1 D．x＋≥2 解析：选C 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立．故选C. 3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.＋<1 B.＋≥1 C.＋<2 D.＋≥2 解析：选B 因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1. 4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( ) A.> B.< C.＝ D.≤ 解析：选A 因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>. 5．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有( ) A．最大值64 B．最小值 C．最小值 D．最小值64 解析：选D 由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16. 6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为_____． 解析：∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4. 答案：4 7．已知00，≤a恒成立，则a的取值范围是_____． 解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号， 所以有＝≤＝， 即的最大值为，故a≥. 答案： 9．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值； (2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值． 解：(1)∵x<3， ∴x－3<0， ∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3 ＝－＋3≤－2 ＋3＝－1， 当且仅当＝3－x， 即x＝1时取等号， ∴f(x)的最大值为－1. (2)∵x，y是正实数， ∴(x＋y)＝4＋≥4＋2. 当且仅当＝， 即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号． 又x＋y＝4， ∴＋≥1＋， 故＋的最小值为1＋. 10．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. 证明：因为a>0，b>0，c>0， 所以＋≥2，＋≥2，＋≥2， 所以＋＋≥6， 当且仅当＝，＝，＝， 即a＝b＝c时，等号成立． 所以＋＋≥6. 层级二 应试能力达标 1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( ) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| 解析：选A ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)． 2．已知实数a，b，c满足条件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( ) A．一定是正数 B．一定是负数 C．可能是0 D．正负不确定 解析：选B 因为a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，所以a>0，b<0，c<0，且a＝－(b＋c)， 所以＋＋＝－＋＋， 因为b<0，c<0，所以b＋c≤－2， 所以－≤，又＋≤－2， 所以－＋＋≤－2＝－<0，故选B. 3．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选D 由题意，知所以＝＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立． 4．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A．6 B．4 C．2 D．8 解析：选B ∵a，b是实数，∴2a＞0,2b＞0， 于是2a＋2b≥2 ＝2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时取得最小值4. 5．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为_____． 解析 ... ...
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